Задача 72125 Найти площадь области, ограниченной...

648551f2fb2b923089102132

21.06.2023 07:06:17

Найти площадь области, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах
x^2 + 4y^2 = 8a^2, x^2 -3y^2 =a^2, x>=a
буквенные параметры положительны

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.06.2023 08:58:48

★

x^2 + 4y^2 = 8a^2- эллипс с полуосями sqrt(8)a и sqrt(2)a


x^2 –3y^2 =a^2- гипербола с действительной осью Ох. вершина в точках (-а;0) и (a;0)

Находим точки пересечения кривых:

{x^2 + 4y^2 = 8a^2
{x^2 –3y^2 =a^2

Вычитаем из первого уравнения второе
7y^2=7a^2
y^2=a^2 ⇒ x^2+4a^2=8a^2 ⇒ x^2=4a^2 ⇒ x= ± 2a

[m]\frac{1}{4}S= ∫ ^{2a}_{a}\sqrt{\frac{1}{3}(x^2-a^2)}dx+ ∫ ^{\sqrt{8}a}_{2a}\sqrt{\frac{1}{4}(8a^2-x^2)}dx=[/m]