Задача 72114 10.В правильной четырехугольной пирамиде...

6491653d3ffe3458e86b0e1a

20.06.2023 11:39:16

10.В правильной четырехугольной пирамиде сторон основания равна 8 см; двугранный угол при основании пирамиды равен 30?. Найдите объем и площадь полной поверхности пирамиды:

626fab9a354ab65fb2f43abb

20.06.2023 15:33:38

★

Рисунок прилагается.
Дано:
Правильная 4-угольная пирамида ABCDS
AB = BC = CD = AD = 8 см
Угол a = 30°
Найти: Объём V и площадь S(полн) пирамиды.
Решение.
OM = AB/2 = 8/2 = 4 см, угол OMS = a = 30°
Высота пирамиды:
H = OS = OM*tg a = 4*tg 30° = 4*sqrt(3)/3
Площадь основания:
S(осн) = 8^2 = 64 см^2
Объём пирамиды:
V = 1/3*S(осн)*H = 1/3*64*4*sqrt(3)/3 = 256sqrt(3)/9 см^3
Длина апофемы:
SM = OM/cos 30° = 4/(sqrt(3)/2) = 8/sqrt(3) = 8sqrt(3)/3 см
Площадь боковой грани:
S(гр) = 1/2*BC*SM = 1/2*8*8sqrt(3)/3 = 32sqrt(3)/3 см^2
Площадь полной поверхности:
S(полн) = S(осн) + 4*S(гр) = 64 + 4*32sqrt(3)/3 = 64 + 128sqrt(3)/3 см^2

Ответ: V = 256sqrt(3)/9 см^3; S(полн) = 64 + 128sqrt(3)/3 см^2