Задача 72097 1. Высоты АМ и СК треугольника АВС...

646462a1e9a2d12342f9a55b

18.06.2023 19:39:32

1. Высоты АМ и СК треугольника АВС пересекаются в точке Н, НК = НМ.
Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.06.2023 10:56:38

★

1)
Рассмотрим Δ АКН и Δ СМН
Они прямоугольные
[red]КН=МН[/red] по условию
∠ КНА= ∠ МНС - вертикальные

Δ АКН = Δ СМН по катету и острому углу ⇒ [b]АН[/b]=[b]СН[/b]

2)
Рассмотрим Δ АМС и Δ СКА
Они прямоугольные
АМ=СК

АМ=[b]АН[/b]+[red]НM[/red]
CK=[b]CH[/b]+[red]HK[/red]


АС - общая
Δ АМС = Δ СКА по гипотенузе и катету ⇒ ∠ А= ∠ С

Δ АВС - равнобедренный ( ∠ А= ∠ С)