Задача 72068 Найти область сходимости данных...
Условие
Решение
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(x+3)^{n}}{(n+1)^{n}}} =[/m]
[m] =\lim \limits_{n \to \infty} \frac{x+3}{n+1} = (x+3) \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = (x + 3) \cdot 0 = 0 < 1[/m]
Так как предел меньше 1 при любом x, то область сходимости:
x ∈ R
б) [m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(x-1)^{n}}{n+\ln(n)}} =[/m]
[m] = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x-1}{\sqrt[n]{n+\ln(n)}} = (x-1) \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n+\ln(n)}} = (x - 1) \cdot 1 = x-1[/m]
Потому что [m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n+\ln(n)}} = 1[/m]
Если [m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a(n)} < 1[/m], то ряд сходится.
|x - 1| < 1
|x| < 2
x ∈ (-2; 2)
в) [m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{3^{n}x^{n}}{\sqrt[4]{n}}} =[/m]
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{3x}{\sqrt[4n]{n}} = (3x) \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[4n]{n}} = 3x \cdot 1 = 3x[/m]
Потому что [m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[4n]{n}} = 1[/m]
Если [m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a(n)} < 1[/m], то ряд сходится.
|3x| < 1
|x| < 1/3
x ∈ (-1/3; 1/3)