Задача 72065 Запишите развёрнутую запись решения с...

635f9f66c10f6b601786061d

15.06.2023 09:53:04

Запишите развёрнутую запись решения с обоснованием. В нём надо записать
последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из
которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами,
графиками, таблицами, рисунками.
15. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции f(x) =
x
2−1
x
2+1
.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15.06.2023 10:44:52

★

x^2-1 ≠ 0 ⇒ (x-1)(x+1) ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 1

Область определения
(- ∞ ;-1) U (-1;1) U(1;+ ∞ )



[m]f`(x)=(\frac{x^2+1}{x^2-1})`[/m]

[m]f`(x)=\frac{(x^2+1)`\cdot (x^2-1)-(x^2+1)\cdot (x^2-1)`}{(x^2-1)^2}[/m]

[m]f`(x)=\frac{(2x)\cdot (x^2-1)-(x^2+1)\cdot (2x)}{(x^2-1)^2}[/m]


[m]f`(x)=\frac{(-4x)}{(x^2-1)^2}[/m]


f`(x)=0


x=0


___+__ (-1) __+__ (0) __-___ (1) __-__


x=0 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -


y`>0 при x ∈ (- ∞ ;-1) и х ∈ (-1;0) ⇒ функция возрастает на (- ∞ ;-1) и на (-1;0)

y`<0 при x ∈ (0 ;1) и х ∈ (1;+ ∞ )⇒ функция убывает на (0 ;1) и на (1;+ ∞ )