Задача 72044 Провести полное исследование и построить...
Условие
Решение
Область определения (- ∞ ;1) U(1;+ ∞ )
Значит, прямая х=1 возможная вертикальная асимптота
Чтобы убедиться в этом
находим
[m]lim_{x → 1 }\frac{2x-1}{(x-1)^2}[/m]= ∞
⇒
Прямая [m] х= 1[/m] - [i]вертикальная [/i]асимптота.
Находим
[m]lim_{x → ∞ }\frac{2x-1}{(x-1)^2}=0[/m]
Прямая y=0 является [i]горизонтальной[/i] асимптотой.
[b]Исследование с помощью первой производной [/b]
[m]y`= \frac{(2x-1)`\cdot (x-1)^2-(2x-1)\cdot ((x-1)^2)`}{((x-1)^2)^2}[/m]
[m]y`= \frac{2\cdot (x-1)^2-(2x-1)\cdot 2(x-1)\cdot (x-1)`}{(x-1)^4}[/m]
[m]y`= \frac{2\cdot (x-1)-2(2x-1)}{(x-1)^3}[/m]
[m]y`=- \frac{2x}{(x-1)^3}[/m]
y`=0 при x=0
____-_____ (0) ____+__ (1) ____-____
y`>0 при x ∈ (0;1) ⇒ Функция монотонно [i]возрастает [/i] на (0;1)
y`<0 при x ∈ (- ∞ ;0) и x ∈ (1;+ ∞ ) ⇒ Функция монотонно [i]убывает [/i] на (- ∞ ;0) и на (1;+ ∞ )
x=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
[b]Исследование с помощью второй производной [/b]
[m]y``=(y`)`=( -\frac{2x}{(x-1)^3})`[/m]
[m]y``= \frac{(-2x)`\cdot (x-1)^3-(-2x)\cdot ((x-1)^3)`}{((x-1)^3)^2}[/m]
[m]y``= \frac{(-2)\cdot (x-1)^3-(-2x)\cdot(3(x-1)^2\cdot(x-1)`}{((x-1)^3)^2}[/m]
[m]y``= \frac{(-2)\cdot (x-1)-3\cdot (-2x)}{(x-1)^4}[/m]
[m]y``= \frac{4x+2}{(x-1)^4}[/m]
y``=0
4x+2=0
x=-1/2 - точка перегиба
y``<0 на (- ∞ ;-1/2)⇒ кривая выпукла вверх
y``>0 на (-1/2;1) и (1;+ ∞ ) ⇒ кривая выпукла вниз
б)
[m]e^(x)-1 ≠ 0[/m] ⇒ [m]e^(x) ≠ 1[/m]⇒ [m]x ≠ 0[/m]
Область определения (- ∞ ;0) U(0;+ ∞ )
Значит, прямая х=0 возможная вертикальная асимптота
Чтобы убедиться в этом
находим
[m]lim_{x → 0 }\frac{1}{e^{x}-1}[/m]= ∞
⇒
Прямая [m] х= 0[/m] - [i]вертикальная [/i]асимптота.
Находим
[m]lim_{x → ∞ }\frac{1}{e^{x}-1}=0[/m]
Прямая y=0 является [i]горизонтальной[/i] асимптотой.
[b]Исследование с помощью первой производной [/b]
[m]y`=- \frac{1}{(e^{x}-1)^2}\cdot (e^{x}-1)`[/m]
[m]y`=- \frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^2}[/m]
y`<0 при x ∈ (- ∞ ;0) и x ∈ (0;+ ∞ ) ⇒ Функция монотонно [i]убывает [/i] на (- ∞ ;0) и на (0;+ ∞ )
точек экстремума нет
[b]Исследование с помощью второй производной [/b]
[m]y``=(y`)`=( - \frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^2})`[/m]
[m]y``=- \frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^3}[/m]
y``<0 на (- ∞ ;0)⇒ кривая выпукла вверх
y``>0 на (0;+ ∞ ) ⇒ кривая выпукла вниз
