Задача 72035 53: решить уравнение dx/dx - 3y/x =...

6487728ae0ad530d7a1e1d51

12.06.2023 22:35:48

53: решить уравнение dx/dx - 3y/x = e^x*x^3

54: найти общее решение дифференциального уравнения y"+2у' +5у = 0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.06.2023 23:13:59

★

Линейное

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-(3/x)*u*v=e^(x)*x^3

Группируем

u`*v+u*(v`-(3/x)*v)=e^(x)*x^3

Условия на функцию v ( пусть выражение в скобках равно 0)

v`-(3/x)*v=0

тогда
u`*v=e^(x)*x^3


Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными
v`-(3/x)*v=0

dv/v=3dx/x ⇒ ∫ dv/v=3 ∫ dx/x

lnv=3lnx

lnv=lnx^(3)

v=x^3

Подставляем во второе


u`*x^3=e^(x)*x^3

u`=e^(x)

u=e^(x)+C


y=u*v=(e^(x)+C)*x^3

[b]y=e^(x)*x^3+C*x^3[/b]

2.

Второе уравнение - линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами


y`` +2y`+5y =0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+2k+5=0

D=4-4*5=-16
k*(k-9)=0

k_(1)=(-2-4i)/2; k_(2)=(-2+4i)/2

k_(1)=-1-2i; k_(2)=-1+2i- корни характеристического уравнения , комплексно-сопряженные.

α =-1
β =2
В этом случае общее решение имеет вид:

y=e^(-1)(C_(1)*cos2x+C_(2)sin2x)-общее решение уравнения