Задача 72034 Решить 4 задания Задание 49: решить...
Условие
Задание 49: решить уравнение - пример на фото
Задание 50: найти общее решение уравнения - пример на фото
Задание 51: найти частное решение уравнения с разделяющимися переменными - пример на фото
Задание 52: найти общее решение дифференциального уравнения - пример на фото
Решение
Уравнение с разделяющимися переменными
dy/(1+y)=dx/(1-x)
Интегрируем:
∫ dy/(1+y)= ∫ dx/(1-x)
ln|1+y|=lnC-ln|1-x|
[b]1+y=C/(1-x)[/b]
50.
Однородное уравнение 1 порядка
Замена
y/x=u ⇒ y=xu
y`=x`*u+x*u`
x`=1, так как х - независимая переменная
y`=u+x*u`
u+x*u`=u+sinu
u`*x=sinu
x*du/dx=sinu
du/sinu=dx/x
Интегрируем:
∫ du/sinu= ∫ dx/x
ln|tg(u/2)|=ln|x|+lnC
tg(u/2)=Cx
[b]tg(y/2x)=Cx[/b]
51.
xdy=ydx
dy/y=dx/x
Интегрируем:
∫ dy/y= ∫ dx/x
ln|y|=ln|x|+lnC
y=Cx
x=2; y=6
6=C*2
C=3
[b]y=3x[/b]
52.
Это линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-9k+14=0
D=81-4*14=25=5^2
k_(1)=(9-5)/2 и k_(2)=(9+5)/2
k_(1)=2; k_(2)=7 - корни действительные различные,
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x)
y_(общее одн)=C_(1)e^(2x)+C_(2)e^(7x)- общее решение данного уравнения