Задача 72028 Тема:Обыкновенные дифференциальные...

64873c49e0ad530d7a1e1641

12.06.2023 19:21:00

Тема:Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решите 2 задания
Задание 47: решить уравнение у''+2у'+у=0.
Задание 48: найти частное решение уравнения с разделяющимися переменными - пример на фото

626fab9a354ab65fb2f43abb

12.06.2023 20:39:40

★

47) y'' + 2y' + y = 0
Однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение:
k^2 + 2k + 1 = 0
(k + 1)^2 = 0
k1 = k2 = -1
y = (C1*x + C2)*e^(-x)

48) dy/x^2 = dx/y^2; y = 2 при x = 0
Уравнение с разделяющимися переменными.
y^2 dy = x^2 dx
Берем интегралы от левой и правой частей.
y^3/3 = x^3/3 + C
y^3 = x^3 + 3C
Общее решение:
[m]y = \sqrt[3]{x^3 + 3C}[/m]
Решаем задачу Коши. Подставляем начальные условия:
y(0) = 2
[m]2 = \sqrt[3]{0^3 + 3C}[/m]
[m]2 = \sqrt[3]{3C}[/m]
3C = 2^3 = 8
C = 8/3
Частное решение:
[m]y = \sqrt[3]{x^3 + 8}[/m]