Задача 72019 Провести полное исcледование и построить...
Условие
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1;2]
Решение
Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической
Область определения симметрична относительно 0
но
[m] y(-x)=\frac{(-x)^3+2}{(-x)^2}=\frac{- x^3+2}{x^2}[/m]
[m]y(-x) ≠ y(x)[/m] и [m]y(-x) ≠- y(x)[/m]
Прямая [m] x=0 [/m] является [i] вертикальной[/i] асимптотой.
Так как [m] lim_{x → 0}\frac{x^3+2}{x^2}=+ ∞ [/m]
[i]Горизонтальных[/i] асимптот нет, так как
[m] lim_{x → ∞}\frac{x^3+2}{x^2}= ∞ [/m]
Наклонная асимптота:
[m] k= lim_{x → ∞}\frac{f(x)}{x}=lim_{x → ∞}\frac{ x^3+2}{x^3}=1[/m]
[m]k=1[/m]
[m]b= lim_{x → ∞}(\frac{ x^3+2}{x^2}-x)= lim_{x → ∞}\frac{x^3+2-x^3}{x^2}= 0[/m]
[m]y=x[/m] - [i] наклонная асимптота[/i].
[b]Исследование с помощью первой производной[/b]:
[m]y`=(\frac{ x^3+2}{x^2})`[/m]
[m]y`=\frac{( x^3+2)`\cdot x^2-(x^3+2)\cdot (x^2)`}{(x^2)^2}[/m]
[m]y`=\frac{(3 x^2)\cdot x^2-(x^3+2)\cdot (2x)}{(x^2)^2}[/m]
[m]y`=\frac{3x^4-2x^4-4x}{x^4}[/m]
[m]y`=\frac{(x^4-4x)}{x^4}[/m]
[m]y`=\frac{(x^3-4)}{x^3}[/m]
y`=0
x=∛4
Расставляем знак производной на ОДЗ:
____+_____(0)____-_____ (∛4) ___+___
y`<0 на (- ∞ ; 0) и на (0;+ ∞ )
Значит функция возрастает на (- ∞ ; 0) и на (0;+ ∞ )
y`>0 на (0;∛4)
Значит, функция возрастает на (0;∛4)
x= ∛4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
[m]y(\sqrt[3]{4} )=\frac{ (\sqrt[3]{4} )^3+2}{(\sqrt[3]{4} )^2}=\frac{6}{\sqrt[3]{16}}[/m]
[b]Исследование с помощью второй производной:[/b]
[m]y``=(y`)`=(\frac{x^3-4)}{x^3})`=\frac{12}{x^4}[/m]
[m]y`` >0 [/m] на (- ∞;0) и на (0;+ ∞ ) ⇒ функция выпукла вниз на на (- ∞;0) и на (0;+ ∞ )
точек перегиба нет
Наибольшее
y(1)=3
Наименьшее
[m]y(\sqrt[3]{4} )=\frac{6}{\sqrt[3]{16}}[/m]
