Задача 71962 Здравствуйте. Нужно Найти частное...

64804cd667cc785a6436710a

07.06.2023 12:26:49

Здравствуйте. Нужно Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям. 3-я задача

626fab9a354ab65fb2f43abb

07.06.2023 17:34:24

★

y'' - y' - 2y = 3e^(2x); y(0) = 2; y'(0) = 5
Однородное уравнение:
y'' - y' - 2y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - k - 2 = 0
(k + 1)(k - 2) = 0
k1 = -1; k2 = 2
Решение однородного уравнения:
[b]y_(o) = C1*e^(-x) + C2*e^(2x)[/b]

Находим частное решение неоднородного уравнения.
Правая часть равна 3e^(2x), и y_(o) содержит часть C2*e^(2x).
Поэтому решение неоднородного уравнения:
y_(н) = Ax*e^(2x)
y_(н)' = A*e^(2x) + Ax*2e^(2x) = (2Ax + A)*e^(2x)
y_(н)'' = 2A*e^(2x) + (2Ax + A)*2e^(2x) = (4Ax + 4A)*e^(2x)
Подставляем в уравнение:
(4Ax + 4A)*e^(2x) - (2Ax + A)*e^(2x) - 2Ax*e^(2x) = 3e^(2x)
(4Ax + 4A - 2Ax - A - 2Ax)*e^(2x) = 3e^(2x)
3Ae^(2x) = 3e^(2x)
A = 1
[b]y_(н) = x*e^(2x)[/b]

Общее решение неоднородного уравнения:
[b]y = y_(o) + y_(н) = C1*e^(-x) + C2*e^(2x) + x*e^(2x)[/b]
y' = -C1*e^(-x) + 2C2*e^(2x) + 1*e^(2x) + 2x*e^(2x)

Решаем задачу Коши. подставляем начальные условия:
y(0) = C1*e^0 + C2*e^0 + 0*e^0 = 2
y'(0) = -C1*e^0 + 2C2*e^0 + e^0 + 2*0*e^0 = 5
Получаем систему:
{ C1 + C2 = 2
{ -C1 + 2C2 + 1 = 5
Решаем сложением уравнений:
C1 + C2 - C1 + 2C2 + 1 = 2 + 5
3C2 = 6
C2 = 6 : 3 = 2
C1 = 2 - C2 = 2 - 2 = 0
Получаем полное решение:
y = 0*e^(-x) + 2*e^(2x) + x*e^(2x)
[b]y = (x + 2)*e^(2x)[/b]