Задача 71947 Написать уравнение кривой, расстояние от...

647e55b0cfd39b47c921906b

06.06.2023 00:40:07

Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки
которой до точки М1 ( -1, 1) вдвое меньше расстояния до точки
М2(-4, 4)

626fab9a354ab65fb2f43abb

06.06.2023 14:09:24

★

Возьмем некую точку кривой M(x; y) и посчитаем расстояния:
|MM1|^2 = (x+1)^2 + (y-1)^2
|MM2|^2 = (x+4)^2 + (y-4)^2
Расстояние: |MM2| = 2*|MM1|
Значит, квадрат расстояния: |MM2|^2 = 4*|MM1|^2
(x+4)^2 + (y-4)^2 = 4*((x+1)^2 + (y-1)^2)
x^2 + 8x + 16 + y^2 - 8y + 16 = 4(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1)
x^2 + 8x + 16 + y^2 - 8y + 16 = 4x^2 + 8x + 4 + 4y^2 - 8y + 4
Приводим подобные:
x^2 + y^2 + 32 = 4x^2 + 4y^2 + 8
Переносим x и y налево, а 8 направо:
32 - 8 = 4x^2 + 4y^2 - x^2 - y^2
3x^2 + 3y^2 = 24
Делим всё на 3:
x^2 + y^2 = 8
Это окружность с центром O(0; 0) и радиусом R = sqrt(8) = 2sqrt(2)