Задача 71931 Решить неопределенный интеграл ((sin^3...

6468af30ec3d7954a9ee2f84

04.06.2023 14:12:21

Решить неопределенный интеграл
((sin^3 x) / (cos x -3)) dx

626fab9a354ab65fb2f43abb

04.06.2023 20:50:30

★

Замена y = cos x; тогда dy = -sin x dx; sin^2 x = 1 - cos^2 x = 1 - y^2
[m]\int \frac{sin^3(x)}{cos(x)-3} dx = -\int \frac{sin^2(x)}{cos(x)-3} (-sin(x)dx)= -\int \frac{1-y^2}{y-3} dy =\int \frac{y^2-1}{y-3} dy[/m]
Получился интеграл от дробно-рациональной функции.
Выделяем целую часть:
[m]\int \frac{y^2-1}{y-3} dy = \int \frac{(y^2-6y+9)+6y-9-1}{y-3} dy = \int \frac{(y-3)^2 +(6y-18)+9-1}{y-3} dy =[/m]
[m]= \int (y-3 + 6) + \frac{8}{y-3}) dy = \frac{y^2}{2}+3y + 8ln|y-3| + C[/m]
Возвращаемся к переменной x:
[m]\frac{y^2}{2}+3y + 8ln|y-3| + C = \frac{cos^2(x)}{2}+3cos(x) + 8ln|cos(x)-3| + C[/m]