Задача 71915 Решить дифференциальное уравнение у" +у'...

643e8fb6dc8af77c5440385d

01.06.2023 19:57:26

Решить дифференциальное уравнение у" +у' = e^x(x +1), y(0)=-5/4, y'(0)=-1/4

5f3ea7e3faf909182968ddd9

01.06.2023 20:37:10

★

Линейное [b]неоднородное [/b]дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного уравнения у_(общее неод)=y_(общее одн.)+y_(част неод)


Решаем однородное :

y'' + y' =0

Составляем характеристическое уравнение:

k^2+k=0

k*(k+1)=0

k_(1)=0; k_(2)=-1- корни действительные различные

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_(общее одн.)=С_(1)*e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)


Подставляем k_(1)=0; k_(2)=-1:

y_(общее одн.)=С_(1)*e^(0*x)+C_(2)*e^(-1*x)

[blue][b]y_(общее одн.)=С_(1)+C_(2)*e^(-x)[/b][/blue]

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения

применяем метод неопределенных коэффициентов, так как правая часть уравнения имеет специальный вид.

Частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част неод)=(Ax+B)*e^(x)

Находим производную первого, второго порядка
y`_(част неод)=((Ax+B)*e^(x))`=A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)

y``_(част неод)=(A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x))`=A*e^(x)+A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)

подставляем в данное уравнение:
A*e^(x)+A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)+A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)=e^(x)*(x+1)

A+A+(Ax+B)+A+(Ax+B)=(x+1)

3A+2B=1
2A=1


и находим коэффициент:
A=1/2
B=-1/4


у_(общее неод)=y_(общее одн.)+y_(част неод)

у=[blue][b]С_(1)+C_(2)*e^(-x)[/b][/blue]+((1/2)x-(1/4))*e^(x) - общее решение



y(0)=-5/4
y`(0)=-1/4

у(0)=С_(1)+C_(2)*e^(0)+((1/2)*0-(1/4))*e^(0}

-5/4=С_(1)-(1/4) ⇒ C_(1)=-1

у`=(С_(1)+C_(2)*e^(-x)+((1/2)x-(1/4))*e^(x})`

у`=-C_(2)*e^(-x)+(1/2)*e^(x)+((1/2)x-(1/4))*e^(x)

y`(0)=-C_(2)*e^(0)+(1/2)*e^(0)+((1/2)*0-(1/4))*e^(0)

-1/4=-C_(2)+(1/2)-(1/4) ⇒ C_(2)=(1/2)

у=-1+(1/2)*e^(-x)+((1/2)x-(1/4))*e^(x}- решение, удовлетворяющее начальным условиям