Задача 71912 ...

6477bb12d3c4c678019ed8c6

01.06.2023 00:29:56

f(x) = 2cosx + sin2x, [0;π] найти максимальное и минимальное значение

6487ffc7e0ad530d7a1e21a3

13.06.2023 08:40:14

★

Для нахождения максимального и минимального значений функции f(x) на отрезке [0;π] необходимо найти её экстремумы и точки перегиба.

Найдём производную функции f(x):

f'(x) = -2sinx + 2cos2x

Найдём корни производной:

-2sinx + 2cos2x = 0

sinx = cos2x

sinx = 1 - 2sin^2x

2sin^2x + sinx - 1 = 0

Решив квадратное уравнение, получаем:

sinx = 0.5 или sinx = -1

Так как на отрезке [0;π] sinx не может быть равен -1, то рассматриваем только первый корень:

sinx = 0.5

x = π/6 или x = 5π/6

Проверим эти точки на экстремумы:

f(π/6) = 2cos(π/6) + sin(2π/6) = √3 + 0 = √3

f(5π/6) = 2cos(5π/6) + sin(2·5π/6) = -√3 + 0 = -√3

Таким образом, максимальное значение функции f(x) на отрезке [0;π] равно √3, а минимальное значение равно -√3