Задача 71910 найдите все значения а , при которых...
Условие
Решение
{ y = ax – a
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0.
Получаем 2 варианта:
1 вариант. Скобка равна 0
{ x^2 – 7x – y – 8 = 0
{ y = ax - a
Выделяем y в 1 уравнении:
{ y = x^2 – 7x – 8
{ y = ax - a
Приравниваем правые части:
x^2 – 7x – 8 = ax - a
x^2 - (a+7)x + (a-8) = 0
D = (a+7)^2 - 4(a-8) = a^2+14a+49-4a+32 = a^2 - 10a + 81
D > 0 при любом а. Значит, это уравнение всегда имеет 2 корня.
[m]x1 = \frac{a+7 - \sqrt{a^2 - 10a + 81}}{2}[/m]
[m]y1 = ax1 - a = \frac{a^2+7a - a\sqrt{a^2 - 10a + 81} - 2a}{2} = \frac{a^2+5a - a\sqrt{a^2 - 10a + 81}}{2}[/m]
[m]x2 = \frac{a+7 + \sqrt{a^2 - 10a + 81}}{2}[/m]
[m]y2 = ax2 - a = \frac{a^2+7a + a\sqrt{a^2 - 10a + 81} - 2a}{2} = \frac{a^2+5a + a\sqrt{a^2 - 10a + 81}}{2}[/m]
2 вариант. Корень равен 0.
{ x - y - 8 = 0
{ y = ax - a
Выделяем y в 1 уравнении:
{ y = x - 8
{ y = ax - a
Приравниваем правые части:
x - 8 = ax - a
a - 8 = ax - x
a - 8 = x(a - 1)
[m]x3 = \frac{a - 8}{a - 1}[/m]
[m]y3 = x - 8 = \frac{a - 8}{a - 1} - 8 = \frac{a - 8-8a+8}{a - 1} = -\frac{7a}{a - 1}[/m]
Чтобы вся система имела всего 2 корня, один из корней x1 или x2 должен быть равен x3. Тогда и y1 (или y2) будет равен y3.
Тут опять 2 варианта:
1 вариант. x1 = x3
[m]\frac{a+7 - \sqrt{a^2 - 10a + 81}}{2} = \frac{a-8}{a - 1}[/m]
По правилу пропорции:
[m](a-1)(a+7 - \sqrt{a^2 - 10a + 81}) = 2(a - 8)[/m]
[m]a(a+7) - (a-1)\sqrt{a^2 - 10a + 81} - a - 7 = 2a-16[/m]
[m]a^2 + 7a - a - 7 - 2a + 16 = (a-1)\sqrt{a^2 - 10a + 81}[/m]
[m]a^2 + 4a + 9 = (a-1)\sqrt{a^2 - 10a + 81}[/m]
Возводим в квадрат левую и правую части.
a^4+8a^3+16a^2+18a^2+72a+81 = (a^2-2a+1)(a^2-10a+81)
a^4+8a^3+34a^2+72a+81 = a^4-12a^3+102a^2-172a+81
8a^3 + 34a^2 + 72a = -12a^3 + 102a^2 - 172a
20a^3 - 68a^2 + 244a = 0
[b]a1 = 0[/b]
5a^2 - 17a + `61 = 0
D = 17^2 - 4*5*61 = 289 - 1220 < 0
Это квадратное уравнение решений не имеет.
2 вариант. x2 = x3
[m]\frac{a+7 + \sqrt{a^2 - 10a + 81}}{2} = \frac{a-8}{a - 1}[/m]
По правилу пропорции:
[m](a-1)(a+7 + \sqrt{a^2 - 10a + 81}) = 2(a - 8)[/m]
[m]a(a+7) + (a-1)\sqrt{a^2 - 10a + 81} - a - 7 = 2a-16[/m]
[m](a-1)\sqrt{a^2 - 10a + 81} = -a(a+7) + a + 7 + 2a - 16[/m]
[m](a-1)\sqrt{a^2 - 10a + 81} = -a^2 - 4a - 9[/m]
Возводим в квадрат левую и правую части.
(a^2-2a+1)(a^2-10a+81) = a^4+8a^3+16a^2+18a^2+72a+81
Результат такой же.
[b]a1 = 0[/b]
5a^2 - 17a + `61 = 0
Это квадратное уравнение решений не имеет.
Ответ: a = 0