Задача 71909 Найти y' и y" xy^2 - y^3 = 4x - 5 { x...

6440db7da74396096279f391

01.06.2023 12:47:52

Найти y' и y"

xy^2 - y^3 = 4x - 5

{ x = arccos t
{ y = sqrt(1-t^2)

626fab9a354ab65fb2f43abb

01.06.2023 14:08:54

★

1) Функция задана неявно.
xy^2 - y^3 = 4x - 5
Берем производную по x.
1*y^2 + x*2y*y' - 3y^2*y' = 4
2xy*y' - 3y^2*y' = 4 - y^2
[m]y' = \frac{4 - y^2}{2xy - 3y^2}[/m]
Берем вторую производную по x.
[m]y''=\frac{(-2yy')(2xy - 3y^2) - (4 - y^2)(2y + 2xy' - 6yy')}{(2xy - 3y^2)^2} = \frac{-4xy^2y' + 6y^3y' - 8y + 2y^3 - 8xy' + 2xy^2y' + 24yy' - 6y^3y'}{(2xy - 3y^2)^2}[/m]
[m]y''=\frac{-2xy^2y' - 8y + 2y^3 - 8xy' + 24yy'}{(2xy - 3y^2)^2}[/m]

2) Функция задана параметрически.
{ x = arccos(t)
{ y = sqrt(1 - t^2)
Находим производные по t.
[m]\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}[/m]
[m]\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{1-t^2}}(-2t) = -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}[/m]
Теперь находим производную по x.
[m]\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} : \frac{dx}{dt} = (-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}) : (-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}) = \frac{t\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{1-t^2}} = t[/m]
Находим производную 2 порядка [m]\frac{d^2y}{dx^2}[/m]
(y'_x)'_t = t' = 1
[m]\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(y'_x)'_t}{x'_t} = \frac{1}{x'_t} = -\sqrt{1-t^2}[/m]