Задача 71908 (sqrt(5+2sqrt(6)))^(x) +...
Условие
2^x = 3-x
Решение
[m](\sqrt{5+2\sqrt{6}})^{x} + (\sqrt{5-2\sqrt{6}})^{x} = 10[/m]
Преобразуем подкоренные выражения:
[m]\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{3+2\sqrt{3}\sqrt{2}+2} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}[/m]
[m]\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{3-2\sqrt{3}\sqrt{2}+2} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}[/m]
Кроме того, заметим, что это обратные числа:
[m](\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 3 - 2 = 1[/m]
Значит, [m]\sqrt{3}-\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}[/m]
Подставляем:
[m](\sqrt{3}+\sqrt{2})^{x} + (\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}})^{x} = 10[/m]
Замена: y = (sqrt(3) + sqrt(2))^(x) > 0 при любом x
[m]y + \frac{1}{y} = 10[/m]
y^2 - 10y + 1 = 0
D = (-10)^2 - 4*1*1 = 100 - 4 = 96 = (4sqrt(6))^2
[m]y1 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{x} = (10 - 4\sqrt{6})/2 = 5 - 2\sqrt{6}[/m]
[m]y1 =5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-2}; x1 = -2[/m]
[m]y2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{x} = (10 + 4\sqrt{6})/2 = 5 + 2\sqrt{6}[/m]
[m]y2 =5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2; x2 = 2[/m]
Ответ: x1 = -2; x2 = 2
2 задача.
2^x = 3 - x
Это не решается аналитическими методами, только подбором.
Функция y = 2^x - возрастающая при любом x.
Функция y = 3 - x - убывающая при любом x.
Это значит, что они пересекаются только в одной точке.
Проверим несколько значений.
x = -1: 2^(-1) = 1/2; 3 - (-1) = 4; 2^x < 3 - x
x = 0; 2^0 = 1; 3 - 0 = 3; 2^x < 3 - x
x = 1; 2^1 = 2; 3 - 1 = 2; 2^x = 3 - x - ура, попали!
x = 2; 2^2 = 4; 3 - 2 = 1; 2^x > 3 - x
Ответ: x = 1
Все решения
[m](5+2\sqrt{6})\cdot (5-2\sqrt{6})=1[/m] ⇒ [m]5-2\sqrt{6}=\frac{1}{5+2\sqrt{6}}[/m]
Замена переменной:
[m](\sqrt{5+2\sqrt{6}})^{x}=t[/m] ⇒ [m](\sqrt{5-2\sqrt{6}})^{x}=(\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{6}}})^{x}=\frac{1}{t}[/m]
Уравнение:
[m]t+\frac{1}{t}=10[/m]
t ≠ 0
[m]t^2-10t+1=0[/m]
[m]D=100-4=96[/m]
[m]t_{1}=5-2\sqrt{6}[/m] или [m]t_{1}=5+2\sqrt{6}[/m]
Обратный переход:
[m](\sqrt{5+2\sqrt{6}})^{x}=5-2\sqrt{6}[/m] или [m](\sqrt{5+2\sqrt{6}})^{x}=5+2\sqrt{6}[/m]
[m](5+2\sqrt{6})^{\frac{x}{2}}=(5+2\sqrt{6})^{-1}[/m] или [m](5+2\sqrt{6})^{\frac{x}{2}}=5+2\sqrt{6}[/m]
[m]\frac{x}{2}=-1[/m] или [m]\frac{x}{2}=1[/m]
[m]x=-2[/m] или [m]x=2[/m]
2 задача
x=1