Задача 71899 найдите площадь фигуры, ограниченной...

637aeed3810865335df5be59

31.05.2023 15:48:20

найдите площадь фигуры, ограниченной окружностью r=корень из 3 sin фи и кардиоидой r=1-cos фи (вне кардиоиды)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

31.05.2023 18:53:39

★

[m]\sqrt{3}sin φ =1-cos φ [/m] делим уравнение на 2 ⇒ [m]\frac{\sqrt{3}}{2}sin φ +\frac{1}{2}cos φ=\frac{1}{2} [/m]

Вводим вспомогательный угол

[m]cos\frac{π}{6}sin φ +sin\frac{π}{6}cos φ=\frac{1}{2} [/m]

[m]sin( φ +\frac{π}{6})=\frac{1}{2} [/m]

[m]( φ +\frac{π}{6})=\frac{π}{6} [/m] или [m]( φ +\frac{π}{6})=\frac{5π}{6} [/m]

[m] φ =0[/m] или [m] φ =\frac{4π}{6} [/m]



[m]S=S(круга)-S_{1}=π\cdot (\sqrt{3})^2-( ∫^{\frac{2π}{3}} _{0}\frac{1}{2}(1-cos φ )^2d φ + ∫^{π}_{\frac{2π}{3}} \frac{1}{2}(\sqrt{3}sinφ )^2d φ)=[/m]

[m]=3π- \frac{1}{2}∫^{\frac{2π}{3}} _{0}(1-2cos φ+cos^2 φ )d φ - \frac{3}{2}∫^{π}_{\frac{2π}{3}} \frac{1-cos2 φ}{2} d φ=[/m]