Задача 71893 1. Найти область определения функции y =...
Условие
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат у=х^2 — 2х — 8.
3 Исследовать функцию на чётность ...
4. Исследовать функцию на монотонность у=5х-2
5. Построить график обратной функции
6. Построить график функции с модулем ...
Решение
Хорошо, разберем по порядку каждую задачу.
[b]1.[/b] Найти область определения функции y = sqrt(4x - 7):
Для определения области определения нужно решить неравенство под корнем:
4x - 7 ≥ 0
Решаем неравенство:
4x ≥ 7
x ≥ 7/4
Таким образом, область определения функции y = sqrt(4x - 7) состоит из всех x, которые больше или равны 7/4.
[b]2.[/b] Найти точки пересечения графика функции с осями координат y = x^2 - 2x - 8:
Для нахождения точек пересечения с осями координат, нужно решить уравнение функции относительно x:
y = x^2 - 2x - 8
Для оси OX (y = 0):
0 = x^2 - 2x - 8
Решаем квадратное уравнение:
x^2 - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4 или x = -2
Точки пересечения с осью OX: (4, 0) и (-2, 0)
Для оси OY (x = 0):
y = (0)^2 - 2(0) - 8
y = -8
Точка пересечения с осью OY: (0, -8)
[b]4. [/b]Исследовать функцию на чётность y = (2x - 3)/(x^2 + 2x + 4):
Для определения четности функции, нужно проверить, выполняется ли свойство f(x) = f(-x) для всех значений x в области определения функции.
Подставим -x вместо x в уравнение и упростим:
f(-x) = (2(-x) - 3)/((-x)^2 + 2(-x) + 4)
= (-2x - 3)/(x^2 - 2x + 4)
Таким образом, функция не является четной, так как f(x) не равно f(-x) для всех x.
Исследовать функцию на монотонность y = 5x - 2:
Для исследования функции на монотонность нужно найти производную функции и анализировать знак производной.
Производная функции y = 5x - 2 равна:
y' = 5
Так как производная постоянная и положительная (5 > 0), функция y = 5x - 2 является возрастающей (монотонно растущей) на всей области определения.
[b]5. [/b]Построить график обратной функции:
Для построения графика обратной функции, нужно поменять местами значения x и y в исходной функции.
Исходная функция: y = sqrt(4x - 7)
Меняем местами x и y: x = sqrt(4y - 7)
Теперь решаем это уравнение относительно y:
x^2 = 4y - 7
4y = x^2 + 7
y = (x^2 + 7)/4
Таким образом, обратная функция имеет вид: y = (x^2 + 7)/4.
[b]6. [/b]Построить график функции с модулем y = |x^2 - 2| * |x| - 8:
Для построения графика функции с модулем, можно разделить функцию на несколько случаев в зависимости от знака внутренних выражений.
Разделим на случаи:
Если x^2 - 2 ≥ 0 и x ≥ 0:
Тогда y = (x^2 - 2) * x - 8 = x^3 - 2x - 8
Если x^2 - 2 < 0 и x ≥ 0:
Тогда y = -(x^2 - 2) * x - 8 = -x^3 + 2x - 8
Если x^2 - 2 ≥ 0 и x < 0:
Тогда y = -(x^2 - 2) * x - 8 = -x^3 + 2x - 8
Если x^2 - 2 < 0 и x < 0:
Тогда y = (x^2 - 2) * x - 8 = x^3 - 2x - 8
Теперь можно построить график каждой из полученных функций, учитывая соответствующие области определения и знаки коэффициентов.
[b]Ответ 13,28[/b]
Хорошо, рассмотрим каждую задачу по порядку:
[b]1.[/b] Найти область определения функции y = (2x - 3)/(x^2 + 2x + 4):
Для определения области определения, нужно решить неравенство в знаменателе:
x^2 + 2x + 4 ≠ 0
Дискриминант уравнения равен: D = 2^2 - 4(1)(4) = -12
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, и знаменатель никогда не равен нулю.
Следовательно, область определения функции y = (2x - 3)/(x^2 + 2x + 4) состоит из всех действительных чисел.
[b]2.[/b] Найти точки пересечения графика функции с осями координат y = x^2 - 3x + 9:
Для нахождения точек пересечения с осями координат, нужно решить уравнение функции относительно x:
Для оси OX (y = 0):
0 = x^2 - 3x + 9
Решаем квадратное уравнение. Можем заметить, что дискриминант D < 0, что означает, что уравнение не имеет действительных корней.
Точки пересечения с осью OX отсутствуют.
Для оси OY (x = 0):
y = (0)^2 - 3(0) + 9
y = 9
Точка пересечения с осью OY: (0, 9)
[b]3.[/b] Исследовать функцию на чётность y = x^2 - 3x + 9:
Для исследования функции на четность, нужно проверить, выполняется ли свойство f(x) = f(-x) для всех значений x в области определения функции.
Подставим -x вместо x в уравнение и упростим:
f(-x) = (-x)^2 - 3(-x) + 9
= x^2 + 3x + 9
Таким образом, функция не является четной, так как f(x) не равно f(-x) для всех x.
[b]4. [/b]Исследовать функцию на монотонность y = 6x - 5:
Для исследования функции на монотонность нужно найти производную функции и анализировать знак производной.
Производная функции y = 6x - 5 равна:
y' = 6
Так как производная постоянная и положительная (6 > 0), функция y = 6x - 5 является возрастающей (монотонно растущей) на всей области определения.
[b]5.[/b] Построить график обратной функции y = 6x - 5:
Для построения графика обратной функции, нужно поменять местами значения x и y в исходной функции.
Исходная функция: y = 6x - 5
Меняем местами x и y: x = 6y - 5
Теперь решаем это уравнение относительно y:
x + 5 = 6y
y = (x + 5)/6
Таким образом, обратная функция имеет вид: y = (x + 5)/6.
[b]6.[/b] Построить график функции с модулем y = |x^2 - 3| * |x| * 9:
Для построения графика функции с модулем, можно разделить функцию на несколько случаев в зависимости от знака внутренних выражений.
Разделим на случаи:
Если x^2 - 3 ≥ 0 и x ≥ 0:
Тогда y = (x^2 - 3) * x * 9 = 9x^3 - 27x
Если x^2 - 3 < 0 и x ≥ 0:
Тогда y = -(x^2 - 3) * x * 9 = -9x^3 + 27x
Если x^2 - 3 ≥ 0 и x < 0:
Тогда y = -(x^2 - 3) * x * 9 = -9x^3 + 27x
Если x^2 - 3 < 0 и x < 0:
Тогда y = (x^2 - 3) * x * 9 = 9x^3 - 27x
Теперь можно построить график каждой из полученных функций, учитывая соответствующие области определения и знаки коэффициентов.