Задача 71886 Найти область сходимости степенного...
Условие
математика ВУЗ
126
Решение
★
[m]a(n) = \frac{x^{n}}{4^{n}n \cdot ln^2(n)}[/m]
Рассмотрим предел:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{4^{n+1}(n+1) \cdot ln^2(n+1)} : \frac{x^{n}}{4^{n}n \cdot ln^2(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{x^{n}} \cdot \frac{4^{n}n \cdot ln^2(n)}{4^{n+1}(n+1) \cdot ln^2(n+1)} = [/m]
[m]= \lim \limits_{n \to \infty} x \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{n}{n+1} \cdot \frac{ln^2(n)}{ln^2(n+1)} = \frac{x}{4} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{x}{4} [/m]
По признаку Даламбера, если [m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} < 1[/m] то ряд сходится
x/4 < 1
x < 4
x ∈ (-4; 4)