Задача 71885 Исследовать ряд нa абсолютную и...

636be2bd80504e6c92e70f6e

30.05.2023 19:01:09

Исследовать ряд нa абсолютную и условную сходимость: (-1)^(n+1) (n / 3n+1)^(n)

626fab9a354ab65fb2f43abb

30.05.2023 23:48:31

★

Формула члена ряда:
[m]a(n) = (-1)^(n+1) \cdot (\frac{n}{3n+1})^{n}[/m]
Формула члена ряда из модулей:
[m]a(n) = (\frac{n}{3n+1})^{n}[/m]
Можно применить признак Коши. Рассмотрим предел:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{n}{3n+1})^{n}} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n}{3n+1} = \frac{1}{3} < 1[/m]
По признаку Коши, если [m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a(n)} < 1[/m], то ряд сходится.
Раз ряд из модулей сходится, то знакопеременный ряд сходится абсолютно.