Задача 71863 Проинтегрировать уравнение...
Условие
Решение
y'' + (49/2)y = 0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2 +(49/2)= 0
[m]k= ± \frac{7}{\sqrt{2}}i[/m]- корни мнимые ( см. таблицу)
[m]α =0[/m]
[m] β =\frac{7}{\sqrt{2}}[/m]
[m]y = C_{1}\cdot cos\frac{7}{\sqrt{2}}x+ C_{2}\cdot sin\frac{7}{\sqrt{2}}x[/m]- общее решение дифференциального уравнения
Частное решение:
x_(0)=0, y(0)=1, y'(0)=2.
y(0)=1
[m]y (0)= C_{1}\cdot cos\frac{7}{\sqrt{2}}\cdot 0+ C_{2}\cdot sin\frac{7}{\sqrt{2}}\cdot 0[/m] ⇒ [m]1=C_{1}+C_{2}\cdot 0[/m] ⇒ [m]C_{1}=1[/m]
[m]y` = \frac{7}{\sqrt{2}}C_{1}\cdot (-sin\frac{7}{\sqrt{2}}x)+\frac{7}{\sqrt{2}} C_{2}\cdot cos\frac{7}{\sqrt{2}}x[/m]
y'(0)=2
[m]y`(0) = \frac{7}{\sqrt{2}}C_{1}\cdot (-sin\frac{7}{\sqrt{2}}\cdot 0)+\frac{7}{\sqrt{2}} C_{2}\cdot cos\frac{7}{\sqrt{2}}\cdot 0[/m]
[m]2=\frac{7}{\sqrt{2}} C_{2} ⇒C_{2}=\frac{2\sqrt{2}}{7}[/m]
[m]y = cos\frac{7}{\sqrt{2}}x+ \frac{2\sqrt{2}}{7}\cdot sin\frac{7}{\sqrt{2}}x[/m]
Все решения
Решение в общем виде:
y'' + (m - n)y' + (m*n/2)y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + (m - n)*k + (m*n/2) = 0
D = (m - n)^2 - 4*1*m*n/2 = (m - n)^2 - 2mn
1) Если D > 0, то
k1 = (n - m - sqrt(D))/2;
k2 = (n - m + sqrt(D))/2
y = C1*e^(k1*x) + C2*e^(k2*x)
2) Если D = 0, то
k = (n - m)/2
y = (C1*x + C2)*e^(k*x) = (C1*x + C2)*e^((n - m)/2*x)
3) Если D < 0, то
k1 = (n - m)/2 - i*sqrt(-D)/2;
k2 = (n - m)/2 + i*sqrt(-D)/2
y = e^((n - m)/2*x)*(C1*cos (sqrt(-D)/2*x) + C2*sin (sqrt(-D)/2*x))
В нашем случае n = 7; m = 7, поэтому
D = (7 - 7)^2 - 2*7*7 = -98 < 0
y = e^(0*x)*(C1*cos (sqrt(98)/2*x) + C2*sin (sqrt(98)/2*x))
y = C1*cos (7sqrt(2)/2*x) + C2*sin (7sqrt(2)/2*x)
y' = -C1*7sqrt(2)/2*sin(7sqrt(2)/2*x) + C2*7sqrt(2)/2*cos(7sqrt(2)/2*x)
Теперь решаем задачу Коши.
x0 = 0; y0 = y(0) = 1; y'0 = y'(0) = 2
y(0) = C1*cos (0) + C2*sin (0) = C1*1 + C2*0 = C1 = 1
y'(0) = -C1*7sqrt(2)/2*sin(0) + C2*7sqrt(2)/2*cos(0) = C2*7sqrt(2)/2 = 2
C2 = 4/(7sqrt(2)) = 4sqrt(2)/(7*2) = 2sqrt(2)/7
y = cos (7sqrt(2)/2*x) + 2sqrt(2)/7*sin (7sqrt(2)/2*x)