Задача 71862 ...
Условие
12^???? − 8^???? − 2 ∙ 6^????+???? + 3 ∙ 4^????+???? + 32 ∙ 3^???? − 2^????+???? ≤ 0
Решение
Поменяем знаки:
8^(x) - 12^(x) + 2*6*6^(x) - 3*4*4^(x) - 32*3^(x) + 2^5*2^(x) ≥ 0
8^(x) - 12^(x) + 12*6^(x) - 12*4^(x) - 32*3^(x) + 32*2^(x) ≥ 0
(2^(x))^3 - (2^(x))^2*3^x + 12*2^(x)*3^(x) - 12*(2^(x))^2 - 32*3^(x) + 32*2^(x) ≥ 0
(2^(x))^2*(2^(x) - 3^(x)) + 12*2^(x)*(3^(x) - 2^(x)) + 32*(2^(x) - 3^(x)) ≥ 0
(2^(x) - 3^(x))*((2^(x))^2 - 12*2^(x) + 32) ≥ 0
Вторая скобка раскладывается на скобки заменой: y = 2^(x)
y^2 - 12y + 32 = 0
D = 12^2 - 4*1*32 = 144 - 128 = 16 = 4^2
y1 = (12 - 4)/2 = 8/2 = 4; y2 = (12 + 4)/2 = 16/2 = 8
(2^(x) - 3^(x))*(2^(x) - 4)*(2^(x) - 8) ≥ 0
1) Пусть 2^(x) - 3^(x) ≥ 0, тогда:
2^(x) ≥ 3^(x)
(2/3)^(x) ≥ 1
x ≤ 0
Чтобы все 3 скобки были ≥ 0, должно быть:
(2^(x) - 4)*(2^(x) - 8) ≥ 0
Так как x ≤ 0, то 2^(x) ≤ 1 и каждая скобка:
2^(x) - 4 < 0
2^(x) - 8 < 0
Поэтому
(2^(x) - 4)*(2^(x) - 8) ≥ 0
x1 ∈ (-oo; 0]
2) Пусть 2^(x) - 3^(x) < 0, тогда аналогично решаем:
x > 0
Чтобы все 3 скобки были ≥ 0, должно быть:
(2^(x) - 4)*(2^(x) - 8) ≤ 0
2^(x) ∈ [4; 8]
x2 ∈ [2; 3]
Ответ: x ∈ (-oo; 0] U [2; 3]
Все решения
Раскладываем левую часть на множители:
(3^(x)*4^(x) – 2^(3x)) – (2·2^(x+1)*3^(x+1) - 3·(2^2)^(x+1)) + (32·3^(x) – 2^(x)*2^5) ≤ 0
4^(x)(3^(x) – 2^(x)) –6*2^(x+1)(3^(x) -2^(x)) +32 (3^(x) – 2^(x)) ≤ 0
(3^(x)-2^(x))(4^(x)-12*2^(x)+32) ≤ 0
4^(x)-12*2^(x)+32=(2^2)^x-12*2^(x)+32- [i]квадратный трехчлен[/i] относительно 2^(x)
D=(-12)^2-4*32=144-128=16
корни 4 и 8
(2^2)^x-12*2^(x)+32=(2^(x) – 4)·(2^(x) – 8)
Неравенство принимает вид:
(3^(x) – 2^(x))·(2^(x) – 4)·(2^(x) – 8) ≤ 0
Решаем методом интервалов:
3^(x)-2^(x)=0 ⇒ 3^(x)=2^(x) ⇒ (3/2)^(x)=1 ⇒ [b]x=0[/b]
2^(x) – 4=0 ⇒2^(x) =4 ⇒ [b]x=2[/b]
2^(x) – 8=0 ⇒ 2^(x) = 8 ⇒ [b]x=3[/b]
Знак неравенства на [3;+ ∞)
f(10)=(3^(10) – 2^(10))·(2^(10) – 4)·(2^(10) – 8)>0
Ставим справа от точки х=3 знак +
Далее знаки чередуем справа налево
____-___ [0] __+____ [2] __-___ [3] __+__
О т в е т. [b](- ∞ ;0] U [2;3][/b]