Задача 71854 ...
Условие
Решение
[m]a(n) = (\frac{2n^2+1}{n^2+2})^{-n^2} = (\frac{n^2+2}{2n^2+1})^{n^2}[/m]
Дробь в основании можно преобразовать:
[m]\frac{n^2+2}{2n^2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n^2+4}{2n^2+1}= \frac{1}{2} \cdot \frac{2n^2+1+3}{2n^2+1}=\frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{3}{2n^2+1}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4n^2+2}[/m]
Применяем признак Коши. Найдем предел корня n степени:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{1}{2} + \frac{3}{4n^2+2})^{n^2}} = \lim \limits_{n \to \infty} (\frac{1}{2} + \frac{3}{4n^2+2})^{n} = (\frac{1}{2} + 0)^{\infty} = 0[/m]
По признаку Коши, если [m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a(n)} < 1[/m], то ряд сходится.
Ответ: ряд сходится