Задача 71853 ...
Условие
Решение
Сначала решим неопределенный интеграл:
[m]\int \frac{x^2}{x^6+4}dx = \frac{1}{3}\int \frac{3x^2}{x^6+4}dx[/m]
Замена: x^3 = t; x^6 = t^2; dt = 3x^2 dx
[m]\frac{1}{3}\int \frac{3x^2}{x^6+4}dx = \frac{1}{3}\int \frac{dt}{t^2+4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} arctg \frac{t}{2} = \frac{1}{6}arctg \frac{x^3}{2}[/m]
Теперь подставляем пределы интегрирования:
1) x = -1;
[m]\frac{1}{6}arctg \frac{(-1)^3}{2} = \frac{1}{6}arctg(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{6}(\pi - arctg\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{6}arctg\frac{1}{2}[/m]
2) x = -oo, здесь берем предел:
[m]\lim \limits_{x \to -\infty}\frac{1}{6}arctg \frac{x^3}{2} = \frac{1}{6}arctg(-\infty) = \frac{1}{6} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{12}[/m]
Вычисляем несобственный интеграл:
[m]\int_{-\infty}^{-1}\frac{x^2}{x^6+4}dx = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{6}arctg\frac{1}{2} - (-\frac{\pi}{12}) = \frac{2\pi}{12} - \frac{1}{6}arctg\frac{1}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6}arctg\frac{1}{2}[/m]