Задача 71852 Исследовать на абсолютную и условную...
Условие
математика ВУЗ
157
Решение
★
[m]a(n) = (-1)^{n+1} \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}} = (-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n(n^2+2n+1)}} = (-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n^3+2n^2+n}}[/m]
Формула ряда из модулей:
[m]|a(n)| = \frac{1}{\sqrt{n^3+2n^2+n}}[/m]
Это обобщенный гармонический ряд вида:
a(n) = 1/n^k
При k > 1 ряд сходится. При 0 < k ≤ 1 ряд расходится.
У нас в пределе получается:
[m]|a(n)| = \frac{1}{\sqrt{n^3}} = \frac{1}{n^{3/2}}[/m]
Члены 2n^2 и n значения не имеют.
Так как 3/2 > 1, то ряд из модулей сходится.
Значит. знакопеременный ряд сходится абсолютно.