Задача 71851 Найти экстремумы функции:...

64711356cc071a418c525344

28.05.2023 15:58:29

Найти экстремумы функции: z=6-2x^2-2xy-y^2+4x

626fab9a354ab65fb2f43abb

28.05.2023 17:34:00

★

z = –2x^2 – 2xy – y^2 + 4x + 6

1) Необходимое условие экстремума функции 2 переменных:
Обе производные 1 порядка должны быть равны 0.
dz/dx = -4x - 2y + 4 = 0
dz/dy = -2x - 2y = 0
Получаем систему:
{ -2x - 2y = 0
{ -4x - 2y + 4 = 0
Решаем подстановкой:
{ y = -x
{ -4x + 2x + 4 = 0
-2x + 4 = 0
x = 2; y = -2
z(2; -2) = –2*2^2 – 2*2(-2) – (-2)^2 + 4*2 + 6 = 10

2) Достаточное условие экстремума функции 2 переменных:
Находим производные 2 порядка:
A = d^2z/dx^2 = -4 < 0
B = d^2z/(dxdy) = -2
C = d^2z/dy^2 = -2
D = A*C - B^2 = (-4)(-2) - (-2)^2 = 8 - 4 = 4 > 0
Если D > 0 и A > 0 - это минимум.
Если D > 0 и A < 0 - это максимум.
Если D < 0 - это не экстремум, а "седловая точка".
Если D = 0 - ничего нельзя сказать, нужны доп. исследования.

У нас D > 0 и A < 0 - это максимум.
Ответ: z(2; -2) = 10 - точка максимума.