Задача 71850 (x+2y)dx+dy=0...
Условие
математика ВУЗ
98
Решение
★
dy/dx = -x - 2y
y' + 2y = -x
Неоднородное уравнение 1 порядка. Решается заменой:
y = u*v; y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' + 2u*v = -x
Выносим u за скобки:
u'*v + u*(v' + 2v) = -x
Скобку приравниваем к 0:
v' + 2v = 0
dv/dx = -2v
dv/v = -2x
ln v = -x^2
v = e^(-x^2)
Подставляем в уравнение:
u'*e^(-x^2) + u*0 = -x
u'*e^(-x^2) = -x
u' = -xe^(x^2)
[m]u = \int (-xe^{x^2}) dx = -\int xe^{x^2} dx = -\frac{1}{2}\int 2xe^{x^2} dx[/m]
Решаем заменой: t = x^2; dt = 2x dx
[m]u = -\frac{1}{2} \int e^{t} dt = -\frac{1}{2}e^{t} +C = -\frac{1}{2}e^{x^2} + C[/m]
Возвращаемся к функции y = u*v
[m]y = (-\frac{1}{2}e^{x^2} + C)e^{-x^2} = -\frac{1}{2} + Ce^{-x^2}[/m]