Задача 71843 [b]Требуется с полными объяснениями по...

647261a0f0bb0024a0f99dc2

27.05.2023 23:10:40

[b]Требуется с полными объяснениями по ходу решения.[/b]
Найти решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка
1) классическим методом,
2) операторным методом.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.05.2023 13:41:05

★

1)
классическим методом

k^2+4k-12=0
D=16-4*(-12)=64

k_(1)=-6; k_(2)=2 - корни действительные различные.

y_(общее однород)=С_(1)e^(-6x)+C_(2)e^(2x)

f(x)=5cos2x

y_(частное неоднород)=Acos2x+Bsin2x

y`_(частное неоднород)=(Acos2x+Bsin2x)=-2Asin2x+2Bcos2x

y``_(частное неоднород)=(-2Asin2x+2Bcos2x)`=-4Acos2x-4Bsin2x


Подставляем в данное уравнение:

-4Acos2x-4Bsin2x+4*(-2Asin2x+2Bcos2x)-12*(Acos2x+Bsin2x)=5cos2x

(-16A+8B)cos2x+(-16B-8A)sin2x=5 cos2x

{-16А+8В=5
{-8А-16В=0

{-32А+16В=10
{-8А-16В=0

-40А=10

А=-1/4

B=1/8

y_(общее неоднород)=y_(общее однород)+y_(частное неоднород)=С_(1)e^(-6x)+C_(2)e^(2x)+(-1/4)cos2x+(1/8)sin2x


Задача Коши:

y(0)=0

y(0)=С_(1)e^(0)+C_(2)e^(0)+(-1/4)cos0+(1/8)sin0 ⇒ 0=C_(1)+C_(2)-(1/4) ⇔ [b]C_(1)+C_(2)=(1/4)[/b]

y`_(общее неоднород)=(С_(1)e^(-6x)+C_(2)e^(2x)+(-1/4)cos2x+(1/8)sin2x)`

y`_(общее неоднород)=(-6С_(1)e^(-6x)+2C_(2)e^(2x)+(1/4)sin2x+(1/8)cos2x


y`(0)=0

0=(-6С_(1)e^(0)+2C_(2)e^(0)+(1/4)sin0+(1/8)cos0 ⇒[b] -6С_(1)+2C_(2)+(1/8)=0[/b]

Решаем систему
{C_(1)+C_(2)=(1/4)
{-6С_(1)+2C_(2)=-(1/8)

⇒
Находим
C_(1) =5/64
и
С_(2)=11/64

y=(5/64)*e^(-6x)+(11/64)*e^(2x)+(-1/4)*cos2x+(1/8)*sin2x

б)
Операционным методом здесь не решали....