Задача 71838 Провести полное исследование функций и...

6468b354ec3d7954a9ee30b1

27.05.2023 16:30:05

Провести полное исследование функций и построить
график: y = (3/x) - (2/x^2)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.05.2023 19:52:48

★

1.
D(y)=(- ∞ ;0)U(0;+ ∞ )

[m]lim_{x → - 0 }(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2})=lim_{x → - 0 }\frac{3x-2}{x^2}=- ∞ [/m]
[m]lim_{x → +0 }(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2})= lim_{x →+ 0 }\frac{3x-2}{x^2}=- ∞ [/m]
x=0- [i]вертикальная асимптота[/i]

2.

[m]y(-x)=\frac{3}{(-x)}-\frac{2}{(-x)^2}=-\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}[/m]

y(-x) ≠ y(x)

y(-x)≠- y(x)

Функция не является ни четной, ни нечётной

3.
[m]lim_{x → - ∞ }(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2})=lim_{x → - ∞ }\frac{3x-2}{x^2}=lim_{x → - ∞ }\frac{(3x-2)`}{(x^2)`}=lim_{x → - ∞ }\frac{3}{2x}=-0 [/m]


[m]lim_{x → + ∞ }(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2})=lim_{x → + ∞ }\frac{3x-2}{x^2}=lim_{x → + ∞ }\frac{(3x-2)`}{(x^2)`}=lim_{x → + ∞ }\frac{3}{2x}=+0 [/m]

y=0- [i]горизонтальная асимптота[/i]

4.

[m]y`=(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2})`[/m]

[m]y`=-\frac{3}{x^2}+\frac{4}{x^3}[/m]


[m]y`=0 ⇒ -\frac{3}{x^2}+\frac{4}{x^3}=0[/m]


[m]x=\frac{4}{3}[/m]

[m]x=\frac{4}{3}[/m] - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -

[m]y(\frac{4}{3})=\frac{3}{(\frac{4}{3})}-\frac{2}{(\frac{4}{3})^2}=\frac{9}{8}[/m]



([m]\frac{4}{3};\frac{9}{8}[[/m] ) - точка минимума


y` <0 на (- ∞ ;0) и на ([m]\frac{4}{3};+ ∞ [/m] ) ⇒ функция убывает на на (- ∞ ;0) и на ([m]\frac{4}{3};+ ∞ [/m] )

y`>0 на (0;[m]\frac{4}{3}[/m] ) ⇒ функция возрастает на (0;[m]\frac{4}{3}[/m] )



[m]y``=(y`)`=(` -\frac{3}{x^2}+\frac{4}{x^3})` [/m]

[m]y``= \frac{6}{x^3}-\frac{12}{x^4}[/m]

[m]y``= \frac{6x-12}{x^4}[/m]

y``=0

x=2


y``<0 на (- ∞ ;0) и (0:2) ⇒ кривая выпукла [i]вверх[/i] на (- ∞ ;0) и (0:2)
y``>0 на (2;+ ∞ ) ⇒ кривая выпукла[i] вниз [/i] на (2 ;+ ∞)