Задача 71835 Дано дифференциальное уравнение второго...

627243c94bf6d2485fa733c5

27.05.2023 16:13:34

Дано дифференциальное уравнение второго порядка, которое допускает понижение порядка. Найти частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.

ху" = lnх+1, y(1)=0, y'(1)=0.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.05.2023 20:24:20

★

[m]y``=\frac{lnx+1}{x}[/m]

[m]y`= ∫ y``dx= ∫ \frac{lnx+1}{x}dx=∫ \frac{lnx}{x}dx+ ∫ \frac{1}{x}dx =\frac{ln^2x}{2}+lnx+C_{1}[/m]


[m]y= ∫ y`dx= ∫( \frac{ln^2x}{2}+lnx+C_{1})dx=∫\frac{ln^2x}{2}dx+ ∫ lnxdx+ ∫ C_{1}dx= \frac{1}{2} ∫ln^2xdx+ ∫ lnx dx+ ∫ C_{1}dx [/m]

Вычисляем первый интеграл

интегрирование по частям

[m]u=ln^2x[/m] ⇒ [m]du=\frac{2lnx}{x}dx[/m]

[m]dv=dx[/m] ⇒ [m]v=x[/m]


[m]y= ∫ y`dx= \frac{1}{2}\cdot (xln^2x- ∫x(\frac{2lnx}{x})dx) + ∫ lnx dx+ ∫ C_{1}dx=\frac{xln^2x}{2}- ∫lnx dx + ∫ lnx dx+ ∫ C_{1}dx=[/m]

[m]=\frac{xln^2x}{2}+C_{1}x+C_{2}[/m]


Решаем задачу Коши

y(1)=0
y`(1)=0

[m]y(1)=0[/m]
[m]y=\frac{xln^2x}{2}+C_{1}x+C_{2}[/m]
[m]y(1)=\frac{1\cdot ln^21}{2}+C_{1}\cdot 1+C_{2}[/m] ⇒ [m]0=C_{1}+C_{2}[/m]

[m]y`(1)=0[/m]
[m]y`=\frac{ln^2x}{2}+lnx+C_{1}[/m]
[m]y`(1)=\frac{ln^21}{2}+ln1+C_{1}[/m] ⇒ [m]0=C_{1}[/m]

[red][m]C_{1}=0[/m][/red]
[m]C_{1}+C_{2}=0[/m] ⇒ [red][m]C_{2}=0[/m][/red]