Задача 71833 z6 (b) найти границы lim x-->+0...

6468b354ec3d7954a9ee30b1

27.05.2023 15:15:46

z6 (b)
найти границы
lim x-->+0 (1/x)^tgx

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.05.2023 15:53:34

★

[m]y=(\frac{1}{x})^{tgx}[/m]

Логарифмируем

[m]lny=ln(\frac{1}{x})^{tgx}[/m]

[m]lny=(tgx) \cdot ln\frac{1}{x}[/m]


Находим [m]lim_{x →+0} lny=[/m]

[m]=lim_{x →+0}(tgx) \cdot ln\frac{1}{x}=lim_{x →+0}\frac{ln\frac{1}{x}}{ctgx}=\frac{+ ∞ }{+ ∞ }[/m]

Применяем правило Лопиталя:

[m]=lim_{x →+0}\frac{(ln\frac{1}{x})`}{(ctg)`x}=lim_{x →+0}\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}\cdot (\frac{1}{x})`}{(-\frac{1}{sin^2x})}=lim_{x →+0}\frac{x\cdot (-\frac{1}{x^2})}{(-\frac{1}{sin^2x})}=lim_{x →+0}\frac{sin^2x}{x}=0[/m]


[m]lim_{x →+0} lny=0[/m] ⇒ [m]lim_{x →+0} y=e^{0}=1[/m]


[m]lim_{x →+0} (\frac{1}{x})^{tgx}=1[/m]