Задача 71831 Решить систему уравнений и найти частные...

627243c94bf6d2485fa733c5

27.05.2023 15:01:55

Решить систему уравнений и найти частные решения, которые удовлетворяют приведенным начальным условиям

dx/dt = 4x-y
dy/dt = x+2y

x(0) = 0, y(0) = 1

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.05.2023 15:38:41

★

[m]\left\{\begin{matrix}
x`(t)=4x-y\\y`(t)=x+2y \end{matrix}\right.[/m]

Выразим из второго уравнения [m]x[/m] и подставим в первое уравнение:
[m]\left\{\begin{matrix}
(y`-2y)`=4(y`-2y)-y\\x=y`-2y\end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix}
y``-2y`=4y`-8y-y\\x=y`-2y\end{matrix}\right.[/m]

Решаем первое уравнение:

[m]y``-6y`+9y=0 [/m]

получили линейное [i]однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами[/i]

Cоставляем характеристическое уравнение:
[m]k^2-6k+9=0[/m]

[m]k_{1}=k_{2}=3[/m] - корни действительные кратные


Общее решение однородного уравнения в таком случае имеет вид:

y_(общее однород)=[m]C_{1}\cdot e^{k_{1}t} +C_{2}\cdot t \cdot e^{k_{1}t}[/m]


y_(общее однород)=[m]C_{1}e^{3t} +C_{2}\cdot t\cdot e^{3t}[/m]

Находим

y`_(общее однород)=[m]C_{1}\cdot e^{3t}\cdot (3t)`+C_{2}\cdot e^{3t}+C_{2}\cdot t\cdot e^{3t} \cdot (3t)`[/m]

y`_(общее однород)=[m]C_{1}\cdot e^{3t}\cdot 3+C_{2}\cdot e^{3t}+C_{2}\cdot t\cdot e^{3t} \cdot 3[/m]

y`_(общее однород)=[m]3C_{1}\cdot e^{3t}+C_{2}\cdot e^{3t}+3C_{2}\cdot t\cdot e^{3t}[/m]

Подставляем
y_(общее однород)=[m]C_{1}e^{3t} +C_{2}\cdot t\cdot e^{3t}[/m]


и

y`_(общее однород)=[m]3C_{1}\cdot e^{3t}+C_{2}\cdot e^{3t}+3C_{2}\cdot t\cdot e^{3t}[/m]


во второе уравнение [m]x=y`-2y[/m]


получаем:

x_(общее однород)=[m]3C_{1}\cdot e^{3t}+C_{2}\cdot e^{3t}+3C_{2}\cdot t\cdot e^{3t}-2C_{1}e^{3t} -2C_{2}\cdot t\cdot e^{3t}[/m]

x_(общее однород)=[m]C_{1}\cdot e^{3t}+C_{2}\cdot e^{3t}+C_{2}\cdot t\cdot e^{3t}[/m]


Итак, общее решение системы:

[m]\left\{\begin{matrix}
y(t)=C_{1}e^{3t} +C_{2}\cdot t\cdot e^{3t}\\x(t)=C_{1}\cdot e^{3t}+C_{2}\cdot e^{3t}+C_{2}\cdot t\cdot e^{3t}\end{matrix}\right.[/m]


Начальные условия

x(0)=0
y(0)=1

[m]\left\{\begin{matrix}
y(0)=C_{1}e^{3\cdot 0} +C_{2}\cdot 0\cdot e^{3\cdot 0}\\x(0)=C_{1}\cdot e^{3\cdot 0}+C_{2}\cdot e^{3\cdot 0}+C_{2}\cdot 0\cdot e^{3\cdot 0}\end{matrix}\right.[/m] ⇒

[m]\left\{\begin{matrix}
1=C_{1} \\0=C_{1}+C_{2}\end{matrix}\right.[/m] ⇒


C_(1)=1

C_(2)=-1


[m]\left\{\begin{matrix}
y(t)=e^{3t} - t\cdot e^{3t}\\x(t)= e^{3t}- e^{3t}- t\cdot e^{3t}\end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix}
y(t)=e^{3t} - t\cdot e^{3t}\\x(t)= - t\cdot e^{3t}\end{matrix}\right.[/m]-

Решение, соответствующее заданным начальным условиям