Задача 71826 ...
Условие
математика ВУЗ
126
Решение
★
[m]a(n) = \frac{n!}{2^{n^2}}[/m]
Рассмотрим предел:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{2^{(n+1)^2}} : \frac{n!}{2^{n^2}} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{2^{(n+1)^2}} \cdot \frac{2^{n^2}}{n!} =[/m]
[m]= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n! \cdot (n+1)}{n!} \cdot \frac{2^{n^2}}{2^{n^2+2n+1}} = \lim \limits_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{2^{n^2}}{2^{n^2} \cdot 2^{2n+1}} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{2^{2n+1}} < 1[/m]
По признаку Даламбера, если
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} < 1[/m]
То ряд сходится.