Задача 71816 Помогиte, нашла а(0), а(n), а как дальше...
Условие
Разложить в ряд Фурье функцию f(x), заданную в интервале (0; pi), продолжив (доопределив) ее четным и нечетным образом. 
Решение
a)
Продолжить функцию на (-π;π) [i] чётным [/i]образом, тогда получим разложение в ряд Фурье по косинусам:
[m]f(x) ∼ \frac{a_{o}}{2}+ ∑_{1}^{ ∞}a_{n} cosnx[/m]
[m]b_{n}=0[/m]
[m]a_{o}=\frac{2}{π} ∫_{0} ^{π}2^{x}dx=\frac{2}{π} (\frac{2^{x}}{ln2})|_{0} ^{1}=\frac{2^{π+1}-2}{πln2}[/m]
n ≥ 1
[m]a_{n}=\frac{2}{π} ∫_{0} ^{π}2^{x}cosnx dx=[/m]
Интегрирование по частям два раза
[m]\frac{2}{π}(\frac{n^2+ln^22}{n^2})\cdot \underbrace{∫_{0} ^{π}2^{x}cosnx dx}_{a_{n}}=\frac{2}{π}(\frac{((-1)^{n}2^{π}-1)ln2}{n^2}[/m]
[m]a_{n}=\frac{((-1)^{n}2^{π}-1)ln2}{n^2+ln^22} [/m]
[m]f(x) ∼\frac{2^{π+1}-2}{2πln2}+ ∑_{1}^{ ∞}\frac{((-1)^{n}2^{π}-1)ln2}{n^2+ln^22} cosnx[/m]