Задача 71809 Найти общее решение дифференциальных...
Условие
xy' + xe^(y/x) - y = 0
математика ВУЗ
166
Решение
★
Делим уравнение на х
[m]y`+e^{\frac{y}{x}}=\frac{y}{x}[/m]
Это однородное уравнение первой степени
Замена.
[m]\frac{y}{x}=u[/m] ⇒ [m]y=u\cdot x[/m]
[m]y`=u`\cdot x+u\cdot x`[/m]
x- независимая переменная
x`=1
[m]y`=u`\cdot x +u[/m]
Получаем уравнение:
[m]u`\cdot x+u+e^{u}=u[/m]
[m]u`\cdot x+e^{u}=0[/m] - уравнение с разделяющимися переменными
[m]u`=\frac{du}{dx}[/m]
[m]\frac{du}{dx}\cdot x=-e^{u}[/m]
[m]-\frac{du}{e^{u}}=\frac{dx}{x}[/m]
Интегрируем:
[m]- ∫ \frac{du}{e^{u}}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]
[m]e^{-u}=lnx+lnC[/m]
[m]e^{-\frac{y}{x}}=lnCx[/m] - о т в е т