Задача 71798 ...

646c646674bce178c1c8f4e9

26.05.2023 11:35:49

Задание 2. Методы интегрирования в неопределенном интеграле:
а) ∫ x^2cos7xdx
б) ∫ arctg2xdx

5f3ea7e3faf909182968ddd9

26.05.2023 12:41:47

★

Интегрирование по частям [r][m] ∫ udv=uv- ∫ vdu[/m][/r]

a)
[m]u=x^2[/m]
[m]dv=cos7xdx[/m]

[m]du=(x^2)`dx[/m] ⇒ [m]du=(2x)dx[/m]


[m]v= ∫ dv[/m] ⇒ [m]v=∫cos7x dx[/m]⇒ [m]v=\frac{1}{7}sin7x[/m]


[m]∫ x^2\cdot cos7xdx=\frac{1}{7}x^2\cdot sin7x- ∫ \frac{1}{7}\cdot (sin7x)\cdot (2x)dx=[/m]


Интегрирование по частям

[m]u=x[/m]
[m]dv=sin7xdx[/m]

[m]du=(x)`dx[/m] ⇒ [m]du=dx[/m]


[m]v= ∫ dv[/m] ⇒ [m]v=\frac{1}{7}(-cos7x)[/m]


[m]=\frac{1}{7}x^2\cdot sin7x- \frac{2}{7}\cdot ∫ x\cdot (sin7x)dx=\frac{1}{7}x^2\cdot sin7x- \frac{2}{7}\cdot (x\cdot \frac{1}{7}(-cos7x))+\frac{2}{7} ∫cos7xdx)= [/m]


[m]=\frac{1}{7}x^2\cdot sin7x+ \frac{2}{14}\cdot x\cdot cos7x-\frac{4}{49}\cdot\frac{1}{7} sin7x+C [/m]



б)
[m]u=arctg 2x[/m]
[m]dv=dx[/m]

[m]du=(arctg 2x[)`dx[/m] ⇒ [m]du=\frac{1}{1+(2x)^2}\cdot (2x)`dx[/m]⇒ [m]du=\frac{2}{1+4x^2}dx[/m]

[m]v=x[/m]

[m]∫arctg 2xdx=x\cdot arctg2x- ∫x\cdot \frac{2}{1+4x^2}dx=x\cdot arctg2x-\frac{1}{4} ∫\frac{8x}{1+4x^2}dx=x\cdot arctg2x-\frac{1}{4} ∫\frac{d(1+4x^2)}{1+4x^2}dx=[/m]

[m]=x\cdot arctg 2x-\frac{1}{4} ln(1+4x^2)+C[/m]