Задача 71797 Вычислить определенный интеграл с...

642571931d8ddb3fa9a3b5fb

26.05.2023 11:19:28

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и почленно интегрируя этот ряд

5f3ea7e3faf909182968ddd9

26.05.2023 11:39:05

★

[m]\frac{1}{1+x^4}=1-x^4+x^8-x^12+... [/m], x ∈ (-1;1)


[m] ∫ ^{0,5}_{0,1}\frac{1}{1+x^4}dx= ∫ ^{0,5}_{0,1}(1-x^4+x^8-x^12+... )dx=(x-\frac{x^5}{5}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{13}}{13}+...)| ^{0,5}_{0,1}=((0,5-0,1)-\frac{0,5^5-0,1^5}{5}+\frac{0,5^9-0,1^9}{9}-\frac{0,5^13^{13}-0,1^{13}}{13}+...)=[/m]

получили знакочередующийся числовой ряд

При замене ряда суммой нескольких слагаемых, погрешность не превышает модуля первого отброшенного слагаемого

Считаем

[m]=0,4-0,03124+0,00195-0,00012[/m]

|-0,00012|<0,001

Значит оставляем три слагаемых:

[m]=0,4-0,03124+0,00195=0,37071 ≈ 0,371[/m]