Задача 71789 ...

646dcde911755166c2c5ea82

26.05.2023 00:27:45

Перейти к полярным координатам и вычисли

∫∫ ln(x^2+y^2)dxdy, D: {x^2+y^2 ≤ 4, x ≤ y ≤ 2x}

5f3ea7e3faf909182968ddd9

26.05.2023 11:55:51

★

Вводим полярные координаты
x= ρ cos θ
y= ρ sin θ

x^2+y^2= ρ^2

x^2+y^2=4 ⇒ ρ ^2=4 ⇒ ρ =2

y=x ⇒ ρ sin θ =ρ cos θ ⇒ sin θ = cos θ ⇒ θ =π/4

y=2x ⇒ ρ sin θ =2ρ cos θ ⇒ sin θ =2 cos θ ⇒ tgθ =2 ⇒ θ =arctg2

dxdy= ρ d ρ d θ


0 ≤ ρ ≤ 2
π/4 ≤ θ ≤ arctg2


∫ ∫ _(D)ln(x^2+y^2)dxdy= ∫^(arctg2)_( π/4) [b]([/b]∫^( 2)_(0) ln ρ ^2( ρ d ρ )[b])[/b]d θ =

внутренний интеграл по частям