Задача 71697 Необходимо решить задачу, что...
Условие
Решение
nx + xy + myy' + xyy' = 0
Далее, проинтегруем обе части уравнения по переменной y:
nx^2/2 + xy^2/2 + m/2 * y^2 + x^2/2 * y^2 = C
где C - произвольная постоянная интегрирования.
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
x^2/2 * y^2 + nx^2/2 + m/2 * y^2 = C
где C - произвольная постоянная.
2)
Метод произведения:
1. Найдем общее рение однородного уравнения y'+ycosmx=0:
Для этого решим уравнение y'+ycosmx=0 методом разделения переменных:
dy/y = -cosmx dx
Проинтегрием обе части уравнения:
ln|y| = -1/m * sinmx + C1
где C1 - произвольная постоянная интегрирования.
Отсюда получаем:
y = Ce^(-1/m * sinmx)
где C - провольная постоянная.
2. Найдем частное решение неоднородного уравнения y'+ycosmx=ne^(1/m * sinmx):
Дляого представим правую часть уравнения в виде произведения двух функций:
ne^(1/m * sinmx) = u(x)v(x), где u(x) = n, v(x) = e^(1/m * sinmx)
Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:
y = yh + yp
где yh - общее решение однородного уравнения, а yp - частное решение неоднородного уравнения.
Для нахождения част решения yp воспользуемся методом произведения:
yp = u(x)w(x)
где w(x) - неизвестная функция.
Тогда:
yp' = u(x)w'(x)
yp'' = u(xw''(x)
Подставляем yp и yp' в исходное уравнение:
yp' + ypcosmx = ne^(1/m * sinmx)
u(x)w'(x) + u(x)w(x)cosmx = ne^(1/m * sinmx)
w'(x) + w(x)cosmx = n/u(x) * e1/m * sinmx)
Заметим, что левая часть уравнения зависит только от x, а правая - только от m и n. Поэтому можно сделать предположение, что w(x) имеет вид:
w(x) = A * e^(-(cosmx dx))
где A - постоянная, int - интеграл.
Тогда:
w'(x) = -Am * e^(-int(cosmx dx))
Подставляем w(x) и w'() в уравнение:
-Am * e^(-int(cosmx dx)) + A * e^(-int(cosmx dx))cosmx = n/u(x) * e^(1/m * sinmx)
A * e^(-int(cosmx dx)) * (cosmx - Am) = n/u(x) * e^(1/m * sinmx)
Отсюда получаем:
A = nu(x) * (cosmx - Am)) * e^(-1/m * sinmx)
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
yp = u(x)w(x) = n/(cosmx - Am * e^(-1/m * sinmx)
3. Общее решение неоднородного уравнения:
y = yh + yp = Ce^(-1/m * sinmx) + n/(cosmx - Am) * e^(-1/m * sinmx)
где C - произвольная постоянная.
Метод вариации постоянной:
Найдем общее решение однородного уравнения y'+ycosmx=0:
Для этого решим уравнение y'+ycosmx=0 методом разения переменных:
dy/y = -cosmx dx
Проинтегрируем обе части уравнения:
ln|y| = -1/m * sinmx + C1
где C1 - произвольная постоянная интегрирования.
Отсда получаем:
y = Ce^(-1/m * sinmx)
где C - произвольная постоянная.
Найдем частное решение неоднородного уравнения y'+ycosmx=ne^(1/m * sinmx):
Для этогоставим правую часть уравнения в виде u(x)e^(1/m * sinmx), где u(x) - неизвестная функция.
Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:
y = yh +
где yh - общее решение однородного уравнения, а yp - частное решение неоднородного уравнения.
Тогда:
yp' = -1/m * C(x)cosmx e^(-1/m * sinmx) + C'(x)e^(-1/m * sinmx)
yp'' = 1/m^2 * C(x)sinmx e^(-1/m * sinmx) - 2/m * C'(x)cosmx e^(-1/m * sinmx) - 1/m * C(x)cosmx e^(-1/m * sinmx) + C''(x)e^(-1/m sinmx)
Подставляем yp, yp' и yp'' в исходное уравнение:
yp' + ypcosmx = ne^(1/m * sinmx)
-1/m * C(x)cosmx e^(-1/m * sinmx) + C'(x)e^(-1 * sinmx) + C(x)cosmx e^(-1/m * sinmx) = ne^(1/m * sinmx)
C'(x) = n/m
C(x) = nx/m + A
где A - произвольная постоянная.
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
yp = (nx/m + A)e^(-1/m * sinmx)
Общее решение неоднородного уравнения:
y = yh + yp = Ce^(-1/m * sinmx) + (nx/m + A)e^(-1/m * sinmx)
где C - произвольная постоянная.