Задача 71678 Проверить удовлетворяет ли указанному...
Условие
Решение
[m]\frac{du}{dx} = \frac{2(x^2+y^2) - (2x+3y) \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2x^2+2y^2 - 4x^2 - 6xy}{(x^2+y^2)^2} =\frac{2y^2 - 2x^2 - 6xy}{(x^2+y^2)^2}[/m]
[m]\frac{du}{dy} = \frac{3(x^2+y^2) - (2x+3y) \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} =\frac{3x^2+3y^2 - 4xy - 6y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{3x^2-3y^2 - 4xy}{(x^2+y^2)^2} [/m]
[m]u=\frac{2x+3y}{x^2+y^2} = \frac{(2x+3y)(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}= \frac{2x^3 + 3x^2y + 2xy^2 + 3y^3}{(x^2+y^2)^2}[/m]
Теперь проверяем равенство:
[m]x \cdot \frac{du}{dx} + y \cdot \frac{du}{dy} + u = \frac{2y^2x - 2x^3 - 6x^2y}{(x^2+y^2)^2} + \frac{3x^2y-3y^3 - 4xy^2}{(x^2+y^2)^2} + \frac{2x^3 + 3x^2y + 2xy^2 + 3y^3}{(x^2+y^2)^2} =[/m]
[m]=\frac{2y^2x - 2x^3 - 6x^2y + 3x^2y-3y^3 - 4xy^2 + 2x^3 + 3x^2y + 2xy^2 + 3y^3}{(x^2+y^2)^2} =[/m]
[m]=\frac{(- 2x^3+ 2x^3) + (-3y^3 + 3y^3) + (2xy^2 - 4xy^2 + 2xy^2) + (-6x^2y + 3x^2y + 3x^2y)}{(x^2+y^2)^2} =[/m]
[m]= \frac{0 + 0 + 0 + 0}{(x^2+y^2)^2} = 0[/m]
Ответ: ДА, функция u(x; y) удовлетворяет этому уравнению.