Задача 71657 Х задана плотностью распределения...
Условие
system{ c*(1/x^4), x >= 2; 0, x < 2 }
Найти: а) константу с; 6) Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадра t в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (2; 4). 
Решение
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=1[/m]
Функция задана на двух промежутках, поэтому
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=∫ ^{2}_{- ∞} 0dx+∫ ^{+ ∞ }_{2}cx^{-4}dx=0+c\cdot (\frac{x^{-3}}{(-3)})| ^{+ ∞ }_{2}=c\cdot (0-\frac{2^{-3}}{(-3)})=c\cdot \frac{1}{3\cdot 2^{3}}=c\cdot \frac{1}{24}[/m]
[m]c\cdot \frac{1}{24}=1[/m]
[m]c=24[/m]
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{+∞ }_{- ∞ }x\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на двух промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по двум промежуткам (первый равен 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{+∞}_{2}\frac{24}{x^4}x\cdot dx=24 ∫ ^{+∞}_{2}x^{-3}dx=24\cdot (\frac{x^{-2}}{(-2)})| ^{+∞}_{2}=(-12\frac{1}{x^2})| ^{+∞}_{2}=3[/m]
По формуле:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2[/red]
Считаем
[m]M(X^2)=∫ ^{+∞}_{2}\frac{24}{x^4}x^2\cdot dx=24∫ ^{+∞}_{2}x^{-2}dx=24\cdot (\frac{x^{-1}}{(-1)})| ^{+∞}_{2}=(-24\frac{1}{x})| ^{+∞}_{2}=12[/m]
Т
Тогда
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=12-(3)^2=3[/red]
[red] [m]σ (X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{3}[/m][/red]
По формуле:
[m]P( α ≤ x ≤ β )=F( β )-F( α )[/m]
получаем:
[m]P( 2 < x <4 )=F(4 )-F(2)=[/m]
По определению:
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx[/m]
[b]При x <2[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx=0[/m]
[b]При x ≥ 2[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{2}_{- ∞ }0dx+∫ ^{x}_{2}\frac{24}{x^4}dx=24\cdot (\frac{x^{-3}}{(-3)})| ^{x }_{2}=-\frac{24}{3x^3}+1[/m]
Получаем:
[m]F(x)\left\{\begin {matrix}0, x <2\\-\frac{24}{3x^3}+1, x ≥ 2 \end {matrix}\right.[/m]
[m]F(4 )=-\frac{24}{3\cdot 4^3}+1=-\frac{1}{8}+1=\frac{7}{8}[/m]
[m]F(2 )=-\frac{24}{3\cdot 2^3}+1=0[/m]
[m]P( 2 < x <4 )=\frac{7}{8}-0=\frac{7}{8}[/m]