Задача 71650 Используя разложение подынтегральной...

641174128cfb9210f616c190

18.05.2023 23:28:38

Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001

5f3ea7e3faf909182968ddd9

18.05.2023 23:44:03

★

[m] ∫ ^{0,2}_{0}\sqrt{x}e^{-x}dx=∫ ^{0,2}_{0}x^{\frac{1}{2}}\cdot (1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^5}{5!}+...)dx=[/m]

[m]=∫ ^{0,2}_{0}(x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}+\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2!}-\frac{x^{\frac{7}{2}}}{3!}+\frac{x^{\frac{9}{2}}}{4!}-\frac{x^{\frac{11}{2}}}{5!}+...)dx=[/m]

[m]=(\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+\frac{x^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{5}{2}+1}-\frac{x^{\frac{7}{2}+1}}{\frac{7}{2}+1}+\frac{x^{\frac{9}{2}+1}}{\frac{9}{2}+1}-\frac{x^{\frac{11}{2}+1}}{\frac{11}{2}+1}+...)|^{0,2}_{0}=[/m]

[m]=(\frac{0,2^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-\frac{0,2^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+\frac{0,2^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{5}{2}+1}-\frac{0,2^{\frac{7}{2}+1}}{\frac{7}{2}+1}+\frac{0,2^{\frac{9}{2}+1}}{\frac{9}{2}+1}-\frac{0,2^{\frac{11}{2}+1}}{\frac{11}{2}+1}+...)=[/m]


[m]=\frac{2}{3}\cdot 0,2\cdot \sqrt{0,2}-\frac{2}{5}\cdot 0,2^2\cdot \sqrt{0,2}+\frac{2}{7}\cdot 0,2^3\cdot \sqrt{0,2}-\frac{2}{9}\cdot 0,2^4\cdot \sqrt{0,2}+\frac{2}{11}\cdot 0,2^4\cdot \sqrt{0,2}-\frac{2}{13}\cdot 0,2^5\cdot \sqrt{0,2}+...[/m]

получили числовой знакочередующийся ряд.

Если оставить несколько слагаемых этого ряда и отбросить большую их часть, то погрешность не превосходит модуля первого отброшенного слагаемого

Поэтому все слагаемые надо приближенно вычислить и тогда станет 0чевидно, сколько слагаемых оставить

[m] ≈0,05963-0,00716+0,00102-0,00016+[/m]

0,00016 <0,001

Значит оставляем три слагаемых

[m] ≈ 0,05963-0,00716+0,00102=0,05349[/m]


немножко не так,

значит посл е 3 должна быть 5
тогда при округлении получим 0,054

⇒

при подсчете следут брать больше цифр после запятой ( я брала 5) -берите 6