Задача 71638 ...

64661c030d09e47cb6b22dfb

18.05.2023 18:56:27

Найдите область сходимости степенного ряда Σ (x-6)^n / sqrt(n+1)*2^(n-1)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

18.05.2023 19:46:35

★

[m] R= lim_{n → ∞ }\frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}\cdot 2^{n-1}}{\frac{1}{\sqrt{n+2}\cdot 2^{n}}=2[/m]

(-2;2) - интервал сходимости ряда ∑ [m]\frac{1}{\sqrt{n+1}\cdot 2^{n-1}x^{n}[/m]

⇒

интервал сходимости данного ряда получим смещением относительно точки 6

(4; 8)


Чтобы найти область сходимости, исследуем сходимость на концах интервала

x=8

∑ [m]\frac{1}{\sqrt{n+1}\cdot 2^{n-1}(8-6)^{n}[/m]

Ряд ∑ [m]\frac{1}{\sqrt{n+1}}\cdot 2[/m] расходится по признаку сравнения с рядом ∑ [m]\frac{1}{\sqrt{n}}[/m] -обобщенный гармонический ряд вида ∑ [m]\frac{1}{n^{p}}[/m]

сходится при p>1
расходится при p < 1

x=4

∑ [m]\frac{1}{\sqrt{n+1}\cdot 2^{n-1}(4-6)^{n}[/m]

Ряд ∑ [m]\frac{1}{\sqrt{n+1}}\cdot (-1)^{n}\cdot 2[/m] сходится по признаку Лейбница


О т в е т. [b][[/b]4;8[b])[/b]