Задача 71626 Решите дифференциальные уравнения...

64661c030d09e47cb6b22dfb

18.05.2023 15:43:34

Решите дифференциальные уравнения первого порядка ху'+у=х+2.

626fab9a354ab65fb2f43abb

18.05.2023 16:39:16

★

xy' + y = x + 2
Делим всё уравнение на x:
y' + y/x = 1 + 2/x
Неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой y = u*v; y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' + u*v/x = 1 + 2/x
Выносим u за скобки:
u'*v + u*(v' + v/x) = 1 + 2/x
Скобку приравниваем к 0:
v' + v/x = 0
dv/dx = -v/x
dv/v = -dx/x
Берем интегралы от левой и правой части:
ln |v| = -ln |x| = ln |1/x|
v = 1/x
Подставляем в наше уравнение:
u'*1/x + u*0 = 1 + 2/x
Умножаем всё уравнение на x:
u' = x + 2
u = x^2/2 + 2x + C
Возвращаемся к функции y:
y = u*v = (x^2/2 + 2x + C)*1/x
y = x/2 + 2 + C/x