Задача 71594 Наибольшее и наименьшее значение функции...

64455f262f80552d83053055

17.05.2023 19:44:23

Наибольшее и наименьшее значение функции y = (x^2+4) / (2x-3) на [0; 5]

sqrt(2x+3) = 3 - sqrt(x+5)

626fab9a354ab65fb2f43abb

17.05.2023 20:22:38

★

10) y = (x^2 + 4)/(2x - 3); x ∈ [0; 5]
Заметим, что в точке x = 3/2 - разрыв, и эта точка находится в промежутке [0; 5]
Поэтому наибольшее значение +oo, а наименьшее -oo.
Но, если нужно вычислить экстремумы, то вот.
Находим значения на концах отрезка:
y(0) = 4/(-3) = -4/3 ≈ -1,33
y(5) = (25 + 4)/(10 - 3) = 29/7 ≈ 4,14
Находим производную:
[m]y' = \frac{2x(2x - 3) - (x^2 + 4)*2}{(2x-3)^2} = \frac{4x^2-6x - 2x^2 - 8}{(2x-3)^2} =\frac{2x^2-6x - 8}{(2x-3)^2} = 0[/m]
Если дробь равна 0, то знаменатель равен 0,
2x^2 - 6x - 8 = 0
2(x^2 - 3x - 4) = 0
2(x + 1)(x - 4) = 0
x = -1 ∉ [0; 5] - не подходит.
x = 4 ∈ [0; 5] - подходит.
y(4) = (16 + 4)/(8 - 3) = 20/5 = 4 < y(5) - это локальный минимум на отрезке [3/2; 5]
Итак, получаем такой ответ:
y(3/2 - 0) → -oo - наименьшее значение (предел слева).
y(3/2 + 0) → +oo - наибольшее значение (предел справа).
y(0) = -4/3
y(4) = 4 - локальный минимум
y(5) = 29/7
График этой удивительной функции на рисунке.
Линия разрыва x = 3/2 показана тонкой прямой.