Задача 71563 Иследовать функцию и её график...
Условие
Решение
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
Упростим выражение справа. Раскроем скобки.
y=(x^2-2x+1)*(x+2)
y=x^3-2x^2+x+2x^2-4x+2
y=x^3-3x+2
Исследование функции с помощью производной:
y`=3x^2-3
y`=0
3x^2-3=0
x^2-1=0
'
(x-1)(x+1)=0
x=1 или x=-1
Расставляем знак производной
___+__ (-1) ___-___ (1) ___+__
х=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y(-1)=(-1-1)^2\cdot (-1+2)=[b]4[/b]
y(1)=[b]0[/b]
y`> 0 на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )
Функция возрастает на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )
y`<0 на (-1;0)
Функция убывает на (-1;1)
Исследование функции с помощью второй производной:
y``=(y`)`=(3x^2-3)`=6x
y``=0
6x=0
x=0 - точка перегиба, вторая производная меняет знак
y``<0 на (- ∞ ;0) ⇒ кривая выпукла вверх ( ∩ ) на (- ∞ ;0)
y`>`0 на (0;+ ∞ ) ⇒ кривая выпукла вниз ( ∪ ) на (0;+ ∞ )
