Задача 71545 log(x) (2x-1)/(x-1) > 1 ...
Условие
Решение
Область определения:
{ x > 0
{ x ≠ 1
{ (2x - 1)/(x - 1) > 0
Решаем:
{ x > 0
{ x ≠ 1
{ x < 1/2 U x > 1
x ∈ (0; 1/2) U (1; +oo)
1) Пусть x ∈ (0; 1/2), тогда логарифм - убывающий.
[m] log_x (\frac{2x - 1}{x - 1}) > 1[/m]
[m] \frac{2x - 1}{x - 1} < x[/m]
[m] \frac{2x - 1}{x - 1} - x < 0[/m]
[m] \frac{2x - 1 - x^2 + x}{x - 1} < 0[/m]
Так как x - 1 < 0, то
-x^2 + 3x - 1 > 0
x^2 - 3x + 1 < 0
D = (-3)^2 - 4*1*1 = 9 - 4 = 5
x1 = (3 - sqrt(5))/2 ≈ 0,381 < 1/2
x2 = (3 + sqrt(5))/2 ≈ 2,618 > 1/2
x ∈ ((3 - sqrt(5))/2; (3 + sqrt(5))/2)
Но, с учетом того, что x ∈ (0; 1/2), получаем:
x1 ∈ ((3 - sqrt(5))/2; 1/2)
2) Пусть x ∈ (1; +oo), тогда логарифм возрастающий
[m] log_x (\frac{2x - 1}{x - 1}) > 1[/m]
[m] \frac{2x - 1}{x - 1} > x[/m]
[m] \frac{2x - 1}{x - 1} - x > 0[/m]
[m] \frac{2x - 1 - x^2 + x}{x - 1} > 0[/m]
Так как x - 1 > 0, то
-x^2 + 3x - 1 > 0
x^2 - 3x + 1 < 0
D = (-3)^2 - 4*1*1 = 9 - 4 = 5
x1 = (3 - sqrt(5))/2 ≈ 0,381 < 1
x2 = (3 + sqrt(5))/2 ≈ 2,618 > 1
x ∈ ((3 - sqrt(5))/2; (3 + sqrt(5))/2)
Но, с учетом того, что x ∈ (1; +oo), получаем:
x2 ∈ (1; (3 + sqrt(5))/2)
Ответ: x ∈ ((3 - sqrt(5))/2; 1/2) U (1; (3 + sqrt(5))/2)