Задача 71479 Може хтось зможе врішити ці 3...
Условие
4.24 превірити чи задовальняє функція u=u(x,y) зазначене рівняння
5.24 знайти похідну складеної функції z==z(x, y), де x=x(t), y=y(t)
6.24 умова завдання на фото 
Решение
[m]\frac{ ∂ u}{ ∂ x}=(arcsin\frac{x}{x+y})`_{x}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{x+y})^2}}\cdot (\frac{x}{x+y})`_{x}=\frac{x+y}{\sqrt{x^2+2xy+y^2-x^2}}\cdot \frac{x`\cdot (x+y)-x\cdot (x+y)`}{(x+y)^2}=\frac{1}{\sqrt{2xy+y^2}}\cdot \frac{ x+y-x}{(x+y)}[/m]
[m]\frac{ ∂ u}{ ∂ x}=(arcsin\frac{x}{x+y})`_{y}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{x+y})^2}}\cdot (\frac{x}{x+y})`_{y}=\frac{x+y}{\sqrt{x^2+2xy+y^2-x^2}}\cdot \frac{x`_{y}\cdot (x+y)-x\cdot (x+y)`_{y}}{(x+y)^2}=\frac{1}{\sqrt{2xy+y^2}}\cdot \frac{0\cdot (x+y)-x}{(x+y)}[/m]
[m]x\cdot \frac{1}{\sqrt{2xy+y^2}}\cdot \frac{ x+y-x}{(x+y)}+y \cdot\frac{1}{\sqrt{2xy+y^2}}\cdot \frac{0\cdot (x+y)-x}{(x+y)}=0[/m]- верно, так как
[m]\frac{xy}{\sqrt{(2xy+y^2)}(x+y)}-\frac{xy}{\sqrt{(2xy+y^2)}(x+y)}=0[/m]
5.
[m]\frac{dz}{dt}=\frac{ ∂ z}{ ∂ x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{ ∂ z}{ ∂ y}\cdot \frac{dy}{dt}[/m]
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂ x}=(x^{y})`_{x}=y\cdot x^{y-1}[/m]
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂ y}=(x^{y})`_{y}=x^{y}\cdot lnx[/m]
[m]\frac{dx}{dt}=(e^{t})`_{t}=e^{t}[/m]
[m] \frac{dy}{dt}=(lnt)`_{t}=\frac{1}{t}[/m]
[m]\frac{dz}{dt}=y\cdot x^{y-1}\cdot e^{t}+x^{y}\cdot lnx\cdot\frac{1}{t}[/m]
6.
F(x;y;z)=0
⇒ [m]e^{z}+x-y+z-3[/m]
[m]F(x;y;z)=e^{z}+x-y+z-3[/m]
[m]\frac{ ∂ F}{ ∂ x}=(e^{z}+x-y+z-3)`_{x}=1[/m]
[m]\frac{ ∂ F}{ ∂ y}=(e^{z}+x-y+z-3)`_{y}=-1[/m]
[m]\frac{ ∂ F}{ ∂ z}=(e^{z}+x-y+z-3)`_{y}=e^{z+1[/m]
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂ x}=-\frac{\frac{ ∂ F}{ ∂ x}}{\frac{ ∂ F}{ ∂ z}}[/m]
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂y}=-\frac{\frac{ ∂ F}{ ∂ y}}{\frac{ ∂ F}{ ∂ z}}[/m]
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂ x}=-\frac{1}{e^{z}+1}[/m]
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂y}=-\frac{(-1)}{e^{z}+1}[/m]
